Изменения

<nowiki>{{Определение |definition = '''Нера́венство Ма́ркова ''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба. Однако, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.}}{{Теорема| id = thMark| about = Неравенство Маркова| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</nowikitex>определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:: <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где:: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть <tex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром::<tex> p =\mathbb P\mathrm (I(A) = Формулировка 1) =\mathbb P\mathrm (A)</tex>,и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] равно вероятности успеха<tex> p =\mathbb P\mathrm (A) </tex>.Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)</tex>.Тогда::<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.Разделим обе части на <tex>x</tex>::<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>}}

Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на <tex>3</tex> минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на <tex>15</tex> минут и более? Дать грубую оценку сверху.: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} == Доказательство ==0.2</tex>

Возьмем для доказательство следующее понятие:== Неравенство Чебышева ==  {{Определение Пусть <math> A</math> - некоторое событие |definition = '''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего. Назовем индикатором события }} {{Теорема|id = thCheb|about = Неравенство Чебышева|statement =Если <mathtex>A\mathbb E\mathrm \xi^2</math> случайную величину <math>I\mathcal 1</mathtex>, равную единице если событие то <mathtex>\forall x >A0</mathtex> произошло, и нулю в противном случае. По будет выполнено  определению величина :<mathtex>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром <math> p = \mathbb P\mathrm (I(A|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = 1) = \leqslant \dfrac {\mathbb PD\mathrm (A)\xi}{x^2}</mathtex>, и ее математическое ожидание равно вероятности успеха где:: <mathtex> p = \mathbb PE\mathrm (A) \xi^2</mathtex>{{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством : <mathtex>I(A) + I(E\mathrm \overline A) = 1xi</mathtex>. Поэтому{{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события : <mathtex>P\mathrm (|\xi|=|- \mathbb E\mathrm \xi|*I(|\xigeqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] хотя бы на <tex> x)+|</tex>: <tex> \mathbb D\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Дисперсия случайной величины|*I(дисперсия случайного события]]|proof =Для <tex>x>0</tex> неравенство <tex>|\xi|-\ge x)mathbb E\ge |mathrm \xi|*I\geqslant x</tex> равносильно неравенству <tex>(|\xi|-\ge x)mathbb E\ge x*I(|mathrm \xi| )^2 \ge geqslant x)^2</mathtex>. Тогда, поэтому <mathtex>\mathbb EP\mathrm (|\xi|\ge -\mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge geqslant x)) = x*\mathbb P\mathrm (|(\xi-\mathbb E\mathrm \xi|)^2 \ge geqslant x^2 )\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</mathtex>}} == Следствие == Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] мала. {{Утверждение| statement = Разделим обе части на Если <mathtex>x\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</mathtex>:, то <mathtex> \mathbb P\mathrm(|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x)leqslant 3\le \frac sqrt{\mathbb ED\mathrm |\xi|})\geqslant \dfrac {8}{x9} </mathtex>.

== Примеры См. также ==* [[Дискретная случайная величина]]* [[Дисперсия случайной величины]]* [[Математическое ожидание случайной величины]]

Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты== Источники информации ==* [https://ru. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверхуwikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0 Википедия {{---}} Неравенство Маркова] <math>\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3* [https://ru.wikipedia.org/wiki/15 = 0%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A7.D0.B5.D0.B1.D1.8B.D1.88.D1.91.D0.B2.D0.B0_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9 Википедия{{---}} Неравенство Чебышева]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality Wikipedia {{---}} Markov's inequality]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality Wikipedia {{---}} Chebyshev's inequality]*[https://www.probabilitycourse.2<com/math>chapter6/6_2_2_markov_chebyshev_inequalities.php Markov and Chebyshev Inequalities]