Неравенство Маркова — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Удалил раздел доказательство, а само доказательство оформил как приложение к теореме)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 15 промежуточных версий 4 участников)
Строка 3: Строка 3:
  
 
   {{Определение
 
   {{Определение
   |definition = Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
+
   |definition = '''Нера́венство Ма́ркова''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
 
  явным образом.
 
  явным образом.
 
}}
 
}}
== Формулировка ==
 
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about = Неравенство Маркова
+
| id = thMark
| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на вероятностном пространстве (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее математическое ожидание <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда  
+
| about = Неравенство Маркова
  <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
+
| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:
 +
<tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 +
где:
 +
: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]
 +
: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина
 +
: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>
 +
: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины
 
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
 
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
  
Пусть <tex> A</tex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром  
+
Пусть <tex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром:
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,  
+
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха  
+
и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] равно вероятности успеха
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.  
+
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.
 
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
 
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
:<tex>|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|<x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
+
:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
Тогда
+
Тогда:
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
+
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
 
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
 
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
 
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 
}}
 
}}
  
== Примеры ==
+
== Пример ==
  
Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
+
Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на <tex>3</tex> минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на <tex>15</tex> минут и более? Дать грубую оценку сверху.
  <math>\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2</math>
+
<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} = 0.2</tex>
  
 
== Неравенство Чебышева ==
 
== Неравенство Чебышева ==
  
 
  {{Определение
 
  {{Определение
  |definition = Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического  
+
  |definition = '''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
+
}}
}}
+
 
== Формулировка ==
+
{{Теорема
 +
|id = thCheb
 +
|about = Неравенство Чебышева
 +
|statement =
 +
Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</tex>, то <tex>\forall x > 0</tex> будет выполнено
 +
 
 +
:<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>
 +
где:
 +
: <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.
 +
: <tex>E\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события
 +
: <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex>
 +
: <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> {{---}} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]
 +
|proof =
 +
Для <tex>x>0</tex> неравенство  <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2</tex>, поэтому
 +
  <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>
 +
}}
  
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>, то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено
+
== Следствие ==
 
 
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
 
  
== Доказательство ==
+
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] мала.
  
Для <math>x>0</math> неравенство  <math>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x</math> равносильно неравенству <math>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2</math>, поэтому
+
{{Утверждение
   <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
+
| statement =
 +
  Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</tex>, то
 +
   <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{
 +
\mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}</tex>.
  
== Следствие ==
+
| proof =
 +
Если в доказательстве [[#thCheb|неравенства Чебышева]] вместо <tex> \geqslant </tex> поставить <tex> > </tex> рассуждения не изменятся, так как
 +
для <tex>x>0</tex> неравенство  <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| > x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 > x^2</tex>, поэтому:
 +
 +
: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|> 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}</tex>
 +
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] меньше чем <tex>\dfrac {1}{9}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Дискретная случайная величина]]
 +
* [[Дисперсия случайной величины]]
 +
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
  
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.  
+
== Источники информации ==
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0 Википедия {{---}} Неравенство Маркова]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A7.D0.B5.D0.B1.D1.8B.D1.88.D1.91.D0.B2.D0.B0_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9 Википедия{{---}} Неравенство Чебышева]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality Wikipedia {{---}} Markov's inequality]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality Wikipedia {{---}} Chebyshev's inequality]
 +
*[https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_2_2_markov_chebyshev_inequalities.php Markov and Chebyshev Inequalities]
  
Рассмотрим такое утверждение:
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то
+
[[Категория: Теория вероятности]]
  <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {8}{9}</math>.
 
 
 
Доказательство:
 
Согласно неравенству Чебышева
 
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\ge 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \frac {1} {9}</math>
 
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>
 

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Неравенство Маркова

Определение:
Нера́венство Ма́ркова (англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Теорема (Неравенство Маркова):
Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ([math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|[/math] конечно. Тогда:
[math]\forall ~x \gt 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

где:

[math] x [/math] — константа соответствующая некоторому событию в терминах математического ожидания
[math] \xi [/math] — случайная величина
[math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)[/math] — вероятность отклонения модуля случайной величины от [math] x [/math]
[math]\mathbb E\mathrm |\xi|[/math] математическое ожидание случайной величины
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть [math] A[/math] — некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром:

[math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math],

и ее математическое ожидание равно вероятности успеха [math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому

[math]|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|\lt x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)[/math].

Тогда:

[math] \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) [/math].

Разделим обе части на [math]x[/math]:

[math] \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на [math]3[/math] минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на [math]15[/math] минут и более? Дать грубую оценку сверху.

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} = 0.2[/math]

Неравенство Чебышева

Определение:
Неравенство Чебышева (англ. Chebyshev's inequality) является следствием неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.


Теорема (Неравенство Чебышева):
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt 0[/math] будет выполнено
[math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

где:

[math]\mathbb E\mathrm \xi^2[/math] математическое ожидание квадрата случайного события.
[math]E\mathrm \xi[/math] математическое ожидание случайного события
[math] P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) [/math] — вероятность отклонения случайного события от его математического ожидания хотя бы на [math] x[/math]
[math] \mathbb D\mathrm \xi [/math]дисперсия случайного события
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2[/math], поэтому

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Утверждение:
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt \mathcal {1}[/math], то [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{ \mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}[/math].
[math]\triangleright[/math]

Если в доказательстве неравенства Чебышева вместо [math] \geqslant [/math] поставить [math] \gt [/math] рассуждения не изменятся, так как для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \gt x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \gt x^2[/math], поэтому:

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\gt 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}[/math]
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\dfrac {1}{9}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации