Snap rounding

Эта статья находится в разработке!

Введение

Рисунок 1а — Ложное пересечение отрезков.	Рисунок 1б — Устранение пересечения созданием новой точки.
Рисунок 2а — Нарушение целостности контура.	Рисунок 2б — Замыкание контура объединением общих точек.

Snap rounding (фиксирование выравнивания) — это алгоритм, который восстанавливает топологию множества отрезков, координаты которого заданны с некоторой [math]\varepsilon[/math] погрешностью.

Мотивация

Пусть у нас есть множество отрезков, чьи координаты были получены с некоторой абсолютной погрешностью. В такой структуре может быть нарушена топология, а это может повлиять на работу других алгоритмов над этой структурой.

Например, если у нас появилось ложное пересечение (рисунок 1) мы можем получить отрицательное "расстояние" до прямой, если ожидаем, что все точки лежат с одной стороны относительное неё. Ещё, из-за недостаточной точности, может быть нарушена замкнутость контура (рисунок 2), что приведёт, например, к неправильной заливки области в графическом редакторе.

Свойства

Пусть нам дано множество отрезков [math]A[/math], тогда полученный после выравнивания планарный граф [math]A^*[/math] должен обладать следующими свойствами:

1. Фиксированная точность координат: все координаты [math]A^*[/math] должны лежать в узлах некоторой решётки с шагом [math]2 \varepsilon[/math].
2. Геометрическое подобие: [math]A^*[/math] должен полностью лежать в области, полученной суммой Минковского [math]A[/math] и квадрата со стороной [math]2 \varepsilon[/math].
3. Топологическое подобие: Существует непрерывное преобразование [math]A[/math] в [math]A^*[/math].

Алгоритм

Определение:

Активная ячейка — ячейка решётки, относительно которой идёт выравнивание, в которую попал конец отрезка или точка пересечения отрезков из [math]A[/math].

Определение:

Пучок [math]b_h[/math] — подмножество отрезков [math]A[/math], у которых меньший в лексикографическом порядке конец лежит в ячейке [math]h[/math].

Определение:

[math]u(b)[/math] — отрезок лежащий выше всех в пучке [math]b[/math]. [math]l(b)[/math] — отрезок лежащий ниже всех в пучке [math]b[/math].

В целом алгоритм выравнивания похож на алгоритм Бентли-Оттмана, только мы будем манипулировать пучками вместо отрезков.

Инициализируем приоритетную очередь [math]Q[/math] для хранения активных ячеек в лексикографическом порядке. Также инициализируем статус [math]T[/math] для хранения пучков, которые в данный момент пересекает заметающая прямая. Для каждого конца отрезка из [math]A[/math] добавим в [math]Q[/math] соответствующую активную ячейку.

Далее будем доставать из [math]Q[/math] активные ячейки и для каждой ячейки [math]h[/math] выполнять следующие операции:

1. Найдём все пучки в статусе [math]T[/math], которые пересекают ячейку [math]h[/math].
2. Разобьём каждый пересекающий пучок на три части:
3. Обновим статус.

Ссылки

• CGAL - 2D Snap Rounding
• Iterated snap rounding with bounded drift
• Efficient Snap Rounding with Integer Arithmetic
• An Intersection-Sensitive Algorithm for Snap Rounding

См. также

• Алгоритм Бентли-Оттмана
• Упрощение полигональной цепи
• Представление чисел с плавающей точкой