Метрические пространства

Определение:

Для некоторого множества $X$, отображение $\rho : X \times X \to \mathbb{R^+}$ — называется метрикой на $X$, если выполняются аксиомы $\rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y$ $\rho (x, y) = \rho (y, x)$ $\rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y)$ — неравенство треугольника Пару $(X, \rho)$ называют метрическим пространством.

Определение:

Последовательность $x_n$ сходится к $x$ в МП $(X, \rho)$ (записывают $x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$), если $\rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Некоторые примеры метрических пространств:

• $X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |$

• $X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

• $X = \mathbb{R}^{\infty}$. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: $\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}$ (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является $R^{\infty}$). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1$, соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

${|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}$

$\triangleright$

Рассмотрим $f(t) = {t \over 1 + t}$. $f(t)$ возрастает при $t \in [0, \infty)$, поэтому, если $0 \le t_1 \lt t_2$, $f(t_1) \lt f(t_2)$ $\frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}$ убывает при $t \in [0, \infty)$ Покажем, что для $f$ выполняется $f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)$. $f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge$(по убыванию $\frac{1}{1 + t}$)$\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)$. Так как $|x - z| \le |x - y| + |y - z|$ по свойствам $| \cdot |$ и $f$ возрастает, то $f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)$. Так как знаем, что $f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)$, получаем $f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)$, то есть получили $f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)$.

$\triangleleft$

Утверждение:

Сходимость в метрике $\mathbb{R}^{\infty}$ эквивалентна покоординатной.

$\triangleright$

Рассматриваем $f(t) = \frac{t}{1+t}$, как и в прошлом утверждении. Пусть $x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots)$. Покажем, что $x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k$. В прямую сторону: $f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x)$. Пусть $\rho(x^{(n)}, x) \lt {\varepsilon \over 2^k}$. Тогда $f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon$. Так как $t = {1 \over 1 - f(t)} - 1$, то $t \to 0$, когда $f(t) \to 0$, а значит, покоординатная сходимость выполняется. В обратную сторону: подберем такое $k_0$, чтобы ${\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} \lt \varepsilon$. Возьмем $n_0$ таким, чтобы $\forall k \le k_0, n \gt n_0: |x^{(n)}_k - x_k| \lt \varepsilon$. Тогда $\rho(x^{(n)}, x) \lt \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon \lt 2 \varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем необходимое.

$\triangleleft$

• В любом пространстве $X$ можно ввести дискретную метрику: $\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}$. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
• $X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}$, то есть множество всех функций из $\mathbb{I} = [0; 1]$ в $\mathbb{R}$. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной .

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:

Открытым шаром в МП $(X, \rho)$ с радиусом $r$ и центром в $a$ называют множество $V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \}$. В определении замкнутого шара знак $\lt$ заменяется на $\le$.

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

Определение:

Для некоторого множества $X$, класс множеств $\tau$ называется топологией, если: $X, \varnothing \in \tau$ Любое объединение (возможно, несчетное) $\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}$ из $\tau$ принадлежит $\tau$ Любое конечное пересечение $\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i$ из $\tau$ принадлежит $\tau$ Пару $(X, \tau)$ называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие $\tau$, называются открытыми. Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из $\tau$.

Определение:

Рассмотрим множество $A \subset X$. Внутренностью (interior) множества $A$ называется множество $\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G$, где $G$ — открытые множества. Замыканием (closure) множества $A$ называется множество $\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F$, где $F$ — замкнутые множества. Границей (boundary, frontier) множества $A$ называется множество $\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A$.

Определение:

Точка $x$ называется пределом последовательности $x_n$ в топологическом пространстве $(X, \tau)$, если $\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n \gt N: x_n \in G$, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Определение:

Множество $U$ называется окрестностью точки $x$ в ТП, если существует открытое $G$: $x \in G \subset U$.

Определение:

Отображение $f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ называют непрерывным в точке $x \in X$, если для любой окрестности $U_{f(x)}$ существует окрестность $U_x$: $f(U_x) \subset U_{f(x)}$.

Характеристика непрерывных отображений ТП: $f$ непрерывно, если для любого $G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.

Для любого МП $(X, \rho)$ можно ввести метрическую топологию: выделим в $X$ семейство открытых множеств $\tau$ множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:

1. Очевидно, $X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$.
2. Очевидно.
3. Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:

   $G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')$. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)

   Рассмотрим $V' \bigcap V''$: $\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''$ ( раньше когда-то доказывали), тогда $V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)$

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

Определение:

Базой топологии называют некоторый набор открытых множеств $\sigma$, такой, что $\forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V$, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из $\sigma$.

Утверждение:

Функция $f(x) = \rho(x, A)$ равномерно непрерывна.

$\triangleright$

$\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)$ $\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon \gt 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) \lt \rho(x_2, A) + \varepsilon$ Значит, $\rho(x_1, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon$. Аналогично, $\rho(x_2, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon$. Отсюда, $|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| \lt \rho(x_1, x_2) + \varepsilon$, устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем равномерную непрерывность $f$ по определению.

$\triangleleft$

Утверждение:

$\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$, где $\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)$.

$\triangleright$

Обозначим $B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$. Понятно, что если некоторая последовательность $x_n \in B$ сходится к $x$, то $\rho(x_n, A) = 0$, и $\rho(x, A) = 0$, то есть, по определению $B$, $x \in B$. Значит, $B = \mathrm{Cl} B$, $B$ замкнуто. Если $a \in A$, то $\rho(a, A) = 0$ и $a \in B$. Значит, $A \subset B$, а раз $B$ замкнуто, то $\mathrm{Cl} A \subset B$. Теперь покажем, что $B \subset \mathrm{Cl} A$, то есть $B \subset \bigcap\limits_{A \subset F } F$, или что для любого $F: A \subset F$, выполняется $B \subset F$. Допустим, это неверно, и $\exists b \in B: b \notin F$, тогда $b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)$. Значит, $b \in V_r(b) \subset X \setminus F$. $b \in B, \rho(b, A) = 0$, следовательно, есть последовательность $a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0$. Для всех $n$, больших некоторого $N$, $\rho(b, a_n) \lt r$, и $a_n \in V_r(b)$, $A \cap V_r(b)$ непусто. Но $A \subset F \implies A \cap G = \varnothing$ — противоречие, $B \subset F$.

$\triangleleft$

Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют аксиоме нормальности:

Утверждение (нормальность МП):

Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.

$\triangleright$

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее) $f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)}$. Т.к. $F_1 \cap F_2 = \varnothing$ и $F_1, F_2$ - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $f(x)$ корректна и непрерывна в силу непрерывности $\rho$. При этом: $x \in F_1 \implies f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1$. Рассмотрим на R пару интервалов: $(- \infty; \frac 1 3)$ и $(\frac 1 2, + \infty)$. Т.к. $f(x)$ неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее). $G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty)$ $F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing$, ч.т.д.

$\triangleleft$

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.

Определение:

МП $(X, \rho)$ называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу $X$.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing$, и состоит из одной точки.

$\triangleright$

Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m \gt n: \rho(a_n, a_m) \lt r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$, тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к $a \in X$. Покажем, что $a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n$, то есть $\forall n: a \in \overline V_n$. Для любого $n$ шар $\overline V_n$ содержит все точки последовательности $\{a_n \}$, кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в $\overline V_n$ и также сходится к $a$, а так как $\overline V_n$ — замкнутое множество, оно содержит предел этой последовательности и $a \in \overline V_n$. Также, кроме $a$ в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка $b$,тогда $\rho(a, b) \gt 0$, возьмем шар в пересечении радиусом меньше $\rho(a, b) \over 2$ (такой есть по стремлению радиусов к $0$), но в нем может лежать только одна из точек $a,b$.

$\triangleleft$

Определение:

$A$ всюду плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$ Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$. Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют сепарабельным. $A$ нигде не плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \varnothing$. Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.

Утверждение:

Пусть $A$ нигде не плотно в $(X, \rho)$. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$.

$\triangleright$

Пусть $B = \mathrm{Cl} A$, так как $A$ нигде не плотно в $X$, то $\mathrm{Int} B = \varnothing$. Это значит, что $\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing$, то есть, любое непустое открытое $G$ не является подмножеством $B$. Рассмотрим произвольный открытый шар $V$, $V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B)$. Из наших рассуждений следует, что $V \cap \overline B$ непусто. Но $\overline B$ — открытое множество, $\overline B = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(a_\alpha)$, $\exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing$. Тогда можно просто выбрать $V_r(a) \subset V \cap V_1$, он и будет искомым шаром без точек $A$.

$\triangleleft$

Определение:

Подмножество $A$ топологического пространства $X$ имеет I категорию по Бэру в пространстве $X$, если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в $X$ множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть $X$ — полное и является множеством I категории, то есть представимо как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n$, где $M_n$ — нигде не плотно в $X$. Возьмем замкнутый шар $\overline V_0$, например, радиуса 1. Так как $M_1$ нигде не плотно в $X$, оно также нигде не плотно в $\overline V_0$, а, значит, существует замкнутый шар $\overline V_1$ радиуса меньше $1 \over 2$, содержащийся в $\overline V_0$ и не пересекающийся с $M_1$ ($M_1 \cap \overline V_1 = \varnothing$). Аналогично, $M_2$ нигде не плотно в $\overline V_1$, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ($\overline V_{n+1} \subset \overline V_n$) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку $x$, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств $M_n$ по построению, то есть, получили противоречие, и $X$ не является множеством первой категории.

$\triangleleft$

Утверждение (следствие из т. Бэра):

Полное МП без изолированных точек несчетно.

$\triangleright$

Пусть $(X, \rho)$ — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть $X$ — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как $\{ x_1 \dots x_n \dots \}$ и представить $X$ как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}$. Но одноточечные множества нигде не плотны в $X$: рассмотрим шар $V_r(p)$, если $p = x_n$, то внутри шара есть шар с центром не в $x_n$ меньшего радиуса, так как $x_n$ не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем $\rho(x, p)$ с центром также в $p$. Тогда $X$ является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, $X$ должно быть несчетно.

$\triangleleft$

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.

Определение:

Замкнутое $K \subset X$ называют компактом, если из любой последовательности точек в $K$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит $K$.

Определение:

$A \subset X$ называют вполне ограниченным, если для него при любом $\varepsilon$ существует конечная $\varepsilon$-сеть, то есть $\forall \varepsilon \gt 0\ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)$.

Теорема (Хаусдорф):

В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство:

$\triangleright$

Теорема Хаусдорфа об ε-сетях

$\triangleleft$

Утверждение:

Пример: $R^{\infty}$ — полное.

$\triangleright$

Нужно установить равносильность сходимости $\overline x^{(n)} \in R^{\infty}$ и ее сходимости в себе. $\implies$: Пусть $\lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x$. Так как $\rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x)$, и при $n, m \to \infty$ каждое из слагаемых в правой части стремится к $0$, то $x^{(n)}$ сходится в себе по определению. $\Longleftarrow$: Пусть $x^{(n)}$ сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим $f(t) = \frac{t}{1+t}$. Так как $\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0$, а $|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1$, то $x^{(n)}$ сходится в себе также и покоординатно. Но по полноте $\mathbb R$, каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: $\forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k$. Так как покоординатная сходимость в метрике $\mathbb R^{\infty}$ равносильна просто сходимости, то $x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots)$.

$\triangleleft$

Утверждение (компактность прямоугольника в R^infty):

$\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots$ — компакт в $R^{\infty}$.

$\triangleright$

$\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}$, где ${|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1$, также $\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} \lt \varepsilon$. Таким образом, для каждого $\varepsilon$ можно выбрать номер координаты $n_0$, такой, что все координаты с большими $n_0$ номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на $\varepsilon$. Расмотрим $\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_{n_0}, b_{n_0}] \subset R^{n_0}$ — для него можно составить конечную $\varepsilon$-сеть $A$ (понятно, что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть $A'$ для $\Pi$ следующим образом: к каждой $n_0$-мерной точке из $A$ допишем произвольные координаты $x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots$. По выбору $\varepsilon$: $\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) \lt \varepsilon$. По определению $\varepsilon$-сети для $A$: $\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) \lt \varepsilon$. По построению $A'$ и выбору $\varepsilon$, $\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') \lt \varepsilon$. Таким образом, $\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon$, то есть построили конечную $3\varepsilon$-сеть.

$\triangleleft$

А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре $(X, \mathcal A, \mu)$ пространство измеримых на $E \in \mathcal A$ вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику $\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu$, то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.

Ссылки

• Topological space
• Interior (topology)
• Closure (topology)
• Dense (topology)
• Nowhere dense set
• Compact space
• Totally bounded space
• Base (topology)