Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями
Vasin (обсуждение | вклад) (→4 Ортогональное дополнение R(A^*).) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показана 51 промежуточная версия 17 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | == 1 | + | == 1 A* и его ограниченность == |
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>. | Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>. | ||
Строка 13: | Строка 13: | ||
}} | }} | ||
− | == 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex> | + | == 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 23: | Строка 23: | ||
}} | }} | ||
− | = | + | {{Утверждение |
− | + | |statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>. | |
+ | }} | ||
− | <tex> | + | == 3 Ортогональное дополнение R(A) == |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>. | ||
+ | }} | ||
− | == 4 Ортогональное дополнение | + | == 4 Ортогональное дополнение R(A*) == |
− | + | {{Теорема | |
− | + | |statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>. | |
− | + | }} | |
− | == 5 Арифметика компактных операторов | + | == 5 Арифметика компактных операторов == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 50: | Строка 54: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | == 10 (year2012) О компактности А* == |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | + | <tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex> | |
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author=Арцело-Асколи | ||
+ | |statement= | ||
+ | \\TODO | ||
}} | }} | ||
− | |||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |||
− | |||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен. | |
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
− | == 9 Размерность | + | == 9 Размерность Ker(I-A) компактного A == |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 80: | Строка 75: | ||
}} | }} | ||
− | == 10 Замкнутость | + | == 10 Замкнутость R(I-A) компактного A == |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 86: | Строка 81: | ||
}} | }} | ||
− | == 11 Лемма о | + | == 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A == |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 93: | Строка 88: | ||
}} | }} | ||
− | == 12 Условие справедливости равенства | + | == 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E == |
− | == 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера | + | {{Утверждение |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> E </tex>, <tex> T = I - A </tex>. | ||
+ | Тогда <tex> R(T) = E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | == 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера == | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|about= | |about= | ||
Строка 104: | Строка 105: | ||
}} | }} | ||
− | == 14 Спектр компактного оператора | + | == 14 Спектр компактного оператора == |
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. | Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. | ||
Строка 117: | Строка 118: | ||
}} | }} | ||
− | == 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для | + | == 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex> | |definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex> | ||
Строка 125: | Строка 126: | ||
<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> | <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> | ||
− | == 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора | + | == 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора == |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны | |statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны | ||
}} | }} | ||
− | == 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора | + | == 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора == |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда | |statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда | ||
Строка 136: | Строка 137: | ||
}} | }} | ||
− | == 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора | + | == 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора == |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда | |statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда | ||
Строка 142: | Строка 143: | ||
}} | }} | ||
− | == 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел | + | == 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ == |
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle | + | |definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex> |
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex> | + | |statement=Пусть A — самосопряженный оператор |
+ | |||
+ | 1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex> | ||
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | 2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | ||
}} | }} | ||
− | == 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма | + | == 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма == |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
− | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\ | + | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex> |
}} | }} | ||
− | == 21 Теорема Гильберта-Шмидта | + | == 21 Теорема Гильберта-Шмидта == |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Гильберт, Шмидт | |author=Гильберт, Шмидт | ||
− | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex> | + | |statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex> |
}} | }} | ||
Строка 168: | Строка 169: | ||
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> | <tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> | ||
− | == | + | ==Теорема Банаха о сжимающем отображении== |
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | | | + | |statement=(''Банаха о неподвижной точке'') |
− | | | + | Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка. |
− | + | }} | |
+ | [[Теорема Банаха о неподвижной точке]] | ||
+ | |||
+ | ==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | '''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>. | ||
+ | |||
+ | Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>. | ||
+ | |||
+ | '''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'') | ||
+ | Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>. | ||
+ | |||
+ | ==Локальная теорема о неявном отображении== | ||
+ | |||
+ | '''Th.'''(''о неявном отображении'') | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим. | ||
+ | |||
+ | '''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> . | ||
− | + | http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | == 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений | + | == 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений == |
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex> | <tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex> | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
Строка 185: | Строка 218: | ||
}} | }} | ||
− | == 25 Проекторы Шаудера | + | == 25 Проекторы Шаудера == |
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть. | <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть. | ||
Строка 203: | Строка 236: | ||
}} | }} | ||
− | == 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке | + | == 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке == |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Шаудер | |author=Шаудер | ||
Строка 211: | Строка 244: | ||
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>. | Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>. | ||
− | }} | + | }} |
+ | |||
+ | == 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) == | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement = | ||
+ | Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество). | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement = | ||
+ | <tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | == 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве == | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство. | ||
+ | |||
+ | Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>. | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | == 8 Почти конечномерность компактного оператора == | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | почти конечномерность компактного оператора | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что: | ||
+ | |||
+ | # <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex> | ||
+ | # <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | == 23 Локальная сходимость метода простой итерации == | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about=Локальная теорема о простой итерации | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то: | ||
+ | * Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>. | ||
+ | * <tex> x_n \to \overline x </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] | [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] |
Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022
Содержание
- 1 1 A* и его ограниченность
- 2 2 Ортогональные дополнения [math] E [/math] и [math] E^* [/math]
- 3 3 Ортогональное дополнение R(A)
- 4 4 Ортогональное дополнение R(A*)
- 5 5 Арифметика компактных операторов
- 6 10 (year2012) О компактности А*
- 7 9 Размерность Ker(I-A) компактного A
- 8 10 Замкнутость R(I-A) компактного A
- 9 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A
- 10 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E
- 11 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера
- 12 14 Спектр компактного оператора
- 13 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A
- 14 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора
- 15 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора
- 16 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора
- 17 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+
- 18 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма
- 19 21 Теорема Гильберта-Шмидта
- 20 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
- 21 Теорема Банаха о сжимающем отображении
- 22 Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.
- 23 Локальная теорема о неявном отображении
- 24 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений
- 25 25 Проекторы Шаудера
- 26 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке
- 27 6 О компактности A*, сепарабельность R(A)
- 28 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
- 29 8 Почти конечномерность компактного оператора
- 30 23 Локальная сходимость метода простой итерации
1 A* и его ограниченность
Пусть оператор
действует из в , и функционал принадлежит .Рассмотрим
.Получили новый функционал
, принадлежащий . .. — сопряженный оператор к .
Теорема: |
Если — линейный ограниченный оператор, то . |
2 Ортогональные дополнения и
Определение: |
Пусть Аналогично, если — ортогональное дополнение . , то . | — НП, .
Утверждение: |
. |
3 Ортогональное дополнение R(A)
Теорема: |
. |
4 Ортогональное дополнение R(A*)
Теорема: |
. |
5 Арифметика компактных операторов
Определение: |
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно |
Определение: |
Линейный ограниченный оператор | называется компактным, если переводит любое ограниченное подмножество в относительно компактное множество из .
Утверждение: |
|
10 (year2012) О компактности А*
Определение: |
- совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. |
Теорема (Арцело-Асколи): |
\\TODO |
Теорема: |
компактен компактен. |
9 Размерность Ker(I-A) компактного A
Утверждение: |
— компактный оператор. Тогда |
10 Замкнутость R(I-A) компактного A
Теорема: |
Пусть , компактен, тогда замкнуто. |
11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A
Утверждение: |
Пусть , — компактный оператор.
Тогда . |
12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E
Утверждение: |
Пусть — компактный оператор на банаховом , .
Тогда . |
13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера
Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера): |
Пусть — компактный оператор и . Тогда возможно только две ситуации:
|
14 Спектр компактного оператора
Рассмотрим
.- , тогда оператор необратим, и — собственное число, то есть .
- , тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть .
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:
Теорема: |
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0. |
15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A
Определение: |
Оператор | называется самосопряжённым ( ), если
,
16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора
Утверждение: |
Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны |
17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора
Теорема: |
Пусть — самосопряжённый оператор. Тогда
|
18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора
Теорема: |
Пусть — самосопряжённый оператор. Тогда
|
19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+
Определение: |
Теорема: |
Пусть A — самосопряженный оператор
1. 2. |
20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма
Утверждение: |
Если — самосопряжённый оператор, то |
21 Теорема Гильберта-Шмидта
Теорема (Гильберт, Шмидт): |
Если — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве , а — его (оператора) собственные подпространства, то |
22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
Теорема Банаха о сжимающем отображении
Определение: |
Пусть на замкнутом шаре | , где - метрическое пространство, определён оператор . Он называется сжатием на , если такой, что для выполняется .
Теорема: |
(Банаха о неподвижной точке)
Пусть и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора неподвижная точка. |
Теорема Банаха о неподвижной точке
Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.
Рассмотрим
, где и, кроме того, - нормированные пространства.Пусть
. Тогда, очевидно, .Обозначим
.Def. Отображение
называется дифференцируемым по Фреше в точке , если существует оператор такой, что , где несёт следующий смысл: .Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение:
. Подчеркнем, что . Аргументом является "отклонение" некоторой точки от : . А результат применения оператора: с точностью до .Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть
-- нормированные пространства, -- некоторый шар в и дан оператор и на всем этом шаре . Тогда для любых , где .Локальная теорема о неявном отображении
Th.(о неявном отображении)
Пусть
- шар в , а - шар в , и задан оператор .Пусть
.Пусть
- дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных и .Пусть также
- непрерывно обратим.Тогда задача о неявном отображении для
c начальным решением разрешима в некоторых окрестностях точек , а именно: для любого существует единственное .http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении
24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений
Утверждение: |
25 Проекторы Шаудера
— конечная -сеть.
Построим следующую функцию:
Определение: |
— проектор Шаудера. |
26 Теорема Шаудера о неподвижной точке
Теорема (Шаудер, о неподвижной точке): |
Пусть — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства и вполне непрерывно отображает в себя.
Тогда . |
6 О компактности A*, сепарабельность R(A)
Утверждение: |
Пусть — компактный, тогда — сепарабельно (то есть, в существует счетное всюду плотное подмножество). |
Утверждение: |
— компактен — компактен |
7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
Определение: |
Базисом Шаудера в банаховом пространстве | называется множество его элементов такое, что у любого в существует единственное разложение .
Определим — это линейное пространство.
Так как ряд сходится,
можно превратить в НП, определив норму как .Утверждение: |
Пространство относительно этой нормы — банахово. |
8 Почти конечномерность компактного оператора
Теорема (почти конечномерность компактного оператора): |
Если — банахово пространство с базисом Шаудера, — компактный, то для всех существует разложение оператора в сумму двух компактных операторов: такое, что:
|
23 Локальная сходимость метода простой итерации
Теорема (Локальная теорема о простой итерации): |
Пусть известно, что существует и .
Тогда существует такой шар , что если , то:
|