Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показано 13 промежуточных версий 7 участников) | |||
Строка 54: | Строка 54: | ||
}} | }} | ||
+ | == 10 (year2012) О компактности А* == | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author=Арцело-Асколи | ||
+ | |statement= | ||
+ | \\TODO | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен. | ||
+ | }} | ||
== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A == | == 9 Размерность Ker(I-A) компактного A == | ||
Строка 77: | Строка 91: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> | + | Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> E </tex>, <tex> T = I - A </tex>. |
− | Тогда <tex> R(T) = | + | Тогда <tex> R(T) = E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>. |
}} | }} | ||
Строка 104: | Строка 118: | ||
}} | }} | ||
− | == 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib) | + | == 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex> | |definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex> | ||
Строка 134: | Строка 148: | ||
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex> | + | |statement=Пусть A — самосопряженный оператор |
+ | |||
+ | 1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex> | ||
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | 2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex> | ||
Строка 153: | Строка 169: | ||
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> | <tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex> | ||
+ | ==Теорема Банаха о сжимающем отображении== | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement=(''Банаха о неподвижной точке'') | ||
+ | Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка. | ||
+ | }} | ||
+ | [[Теорема Банаха о неподвижной точке]] | ||
+ | |||
+ | ==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | '''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>. | ||
+ | |||
+ | Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>. | ||
+ | |||
+ | '''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'') | ||
+ | Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>. | ||
+ | |||
+ | ==Локальная теорема о неявном отображении== | ||
+ | |||
+ | '''Th.'''(''о неявном отображении'') | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим. | ||
+ | |||
+ | '''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> . | ||
+ | |||
+ | http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении | ||
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений == | == 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений == | ||
Строка 186: | Строка 244: | ||
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>. | Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>. | ||
− | }} | + | }} |
− | |||
− | |||
− | |||
== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) == | == 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) == | ||
Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022
Содержание
- 1 1 A* и его ограниченность
- 2 2 Ортогональные дополнения [math] E [/math] и [math] E^* [/math]
- 3 3 Ортогональное дополнение R(A)
- 4 4 Ортогональное дополнение R(A*)
- 5 5 Арифметика компактных операторов
- 6 10 (year2012) О компактности А*
- 7 9 Размерность Ker(I-A) компактного A
- 8 10 Замкнутость R(I-A) компактного A
- 9 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A
- 10 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E
- 11 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера
- 12 14 Спектр компактного оператора
- 13 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A
- 14 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора
- 15 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора
- 16 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора
- 17 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+
- 18 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма
- 19 21 Теорема Гильберта-Шмидта
- 20 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
- 21 Теорема Банаха о сжимающем отображении
- 22 Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.
- 23 Локальная теорема о неявном отображении
- 24 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений
- 25 25 Проекторы Шаудера
- 26 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке
- 27 6 О компактности A*, сепарабельность R(A)
- 28 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
- 29 8 Почти конечномерность компактного оператора
- 30 23 Локальная сходимость метода простой итерации
1 A* и его ограниченность
Пусть оператор
действует из в , и функционал принадлежит .Рассмотрим
.Получили новый функционал
, принадлежащий . .. — сопряженный оператор к .
Теорема: |
Если — линейный ограниченный оператор, то . |
2 Ортогональные дополнения и
Определение: |
Пусть Аналогично, если — ортогональное дополнение . , то . | — НП, .
Утверждение: |
. |
3 Ортогональное дополнение R(A)
Теорема: |
. |
4 Ортогональное дополнение R(A*)
Теорема: |
. |
5 Арифметика компактных операторов
Определение: |
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно |
Определение: |
Линейный ограниченный оператор | называется компактным, если переводит любое ограниченное подмножество в относительно компактное множество из .
Утверждение: |
|
10 (year2012) О компактности А*
Определение: |
- совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. |
Теорема (Арцело-Асколи): |
\\TODO |
Теорема: |
компактен компактен. |
9 Размерность Ker(I-A) компактного A
Утверждение: |
— компактный оператор. Тогда |
10 Замкнутость R(I-A) компактного A
Теорема: |
Пусть , компактен, тогда замкнуто. |
11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A
Утверждение: |
Пусть , — компактный оператор.
Тогда . |
12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E
Утверждение: |
Пусть — компактный оператор на банаховом , .
Тогда . |
13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера
Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера): |
Пусть — компактный оператор и . Тогда возможно только две ситуации:
|
14 Спектр компактного оператора
Рассмотрим
.- , тогда оператор необратим, и — собственное число, то есть .
- , тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть .
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:
Теорема: |
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0. |
15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A
Определение: |
Оператор | называется самосопряжённым ( ), если
,
16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора
Утверждение: |
Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны |
17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора
Теорема: |
Пусть — самосопряжённый оператор. Тогда
|
18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора
Теорема: |
Пусть — самосопряжённый оператор. Тогда
|
19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+
Определение: |
Теорема: |
Пусть A — самосопряженный оператор
1. 2. |
20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма
Утверждение: |
Если — самосопряжённый оператор, то |
21 Теорема Гильберта-Шмидта
Теорема (Гильберт, Шмидт): |
Если — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве , а — его (оператора) собственные подпространства, то |
22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
Теорема Банаха о сжимающем отображении
Определение: |
Пусть на замкнутом шаре | , где - метрическое пространство, определён оператор . Он называется сжатием на , если такой, что для выполняется .
Теорема: |
(Банаха о неподвижной точке)
Пусть и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора неподвижная точка. |
Теорема Банаха о неподвижной точке
Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.
Рассмотрим
, где и, кроме того, - нормированные пространства.Пусть
. Тогда, очевидно, .Обозначим
.Def. Отображение
называется дифференцируемым по Фреше в точке , если существует оператор такой, что , где несёт следующий смысл: .Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение:
. Подчеркнем, что . Аргументом является "отклонение" некоторой точки от : . А результат применения оператора: с точностью до .Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть
-- нормированные пространства, -- некоторый шар в и дан оператор и на всем этом шаре . Тогда для любых , где .Локальная теорема о неявном отображении
Th.(о неявном отображении)
Пусть
- шар в , а - шар в , и задан оператор .Пусть
.Пусть
- дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных и .Пусть также
- непрерывно обратим.Тогда задача о неявном отображении для
c начальным решением разрешима в некоторых окрестностях точек , а именно: для любого существует единственное .http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении
24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений
Утверждение: |
25 Проекторы Шаудера
— конечная -сеть.
Построим следующую функцию:
Определение: |
— проектор Шаудера. |
26 Теорема Шаудера о неподвижной точке
Теорема (Шаудер, о неподвижной точке): |
Пусть — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства и вполне непрерывно отображает в себя.
Тогда . |
6 О компактности A*, сепарабельность R(A)
Утверждение: |
Пусть — компактный, тогда — сепарабельно (то есть, в существует счетное всюду плотное подмножество). |
Утверждение: |
— компактен — компактен |
7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
Определение: |
Базисом Шаудера в банаховом пространстве | называется множество его элементов такое, что у любого в существует единственное разложение .
Определим — это линейное пространство.
Так как ряд сходится,
можно превратить в НП, определив норму как .Утверждение: |
Пространство относительно этой нормы — банахово. |
8 Почти конечномерность компактного оператора
Теорема (почти конечномерность компактного оператора): |
Если — банахово пространство с базисом Шаудера, — компактный, то для всех существует разложение оператора в сумму двух компактных операторов: такое, что:
|
23 Локальная сходимость метода простой итерации
Теорема (Локальная теорема о простой итерации): |
Пусть известно, что существует и .
Тогда существует такой шар , что если , то:
|