Абелева группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Группа <tex>G</tex> называется '''абелевой''', если ее операция коммутативна: для любых <tex>a,b\in G</tex> выполнено <tex>a\cdot b = b\cdot a</tex>. Абелевы группы иногда называют '''аддитивными''', обозначая групповую операцию как <tex>a+b</tex>, обратный элемент как <tex>-a</tex>, нейтральный как <tex>0</tex>. При этом запись <tex>a-b</tex> понимают как <tex>a+(-b)</tex>.
+
[[группа|Группа]] <tex>G</tex> называется '''абелевой''', если ее операция коммутативна: для любых <tex>a,b\in G</tex> выполнено <tex>a\cdot b = b\cdot a</tex>. Абелевы группы иногда называют '''аддитивными''', обозначая групповую операцию как <tex>a+b</tex>, обратный элемент как <tex>-a</tex>, нейтральный как <tex>0</tex>. При этом запись <tex>a-b</tex> понимают как <tex>a+(-b)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Примером абелевой (аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой {{---}} группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.
+
=== Примеры ===
 +
* Группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения является абелевой.
 +
* Любая [[циклическая группа]] является абелевой.
 +
* [[Симметрическая группа|Группа перестановок]] множества из <tex>n</tex> элементов не является абелевой при <tex>n \ge 3</tex>.
 +
* Группа обратимых матриц относительно матричного умножения не является абелевой.
 +
 
 +
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022

Абелева группа

Определение:
Группа [math]G[/math] называется абелевой, если ее операция коммутативна: для любых [math]a,b\in G[/math] выполнено [math]a\cdot b = b\cdot a[/math]. Абелевы группы иногда называют аддитивными, обозначая групповую операцию как [math]a+b[/math], обратный элемент как [math]-a[/math], нейтральный как [math]0[/math]. При этом запись [math]a-b[/math] понимают как [math]a+(-b)[/math].


Примеры

  • Группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения является абелевой.
  • Любая циклическая группа является абелевой.
  • Группа перестановок множества из [math]n[/math] элементов не является абелевой при [math]n \ge 3[/math].
  • Группа обратимых матриц относительно матричного умножения не является абелевой.