Основная теорема арифметики — различия между версиями
Senya (обсуждение | вклад) (→Основная теорема арифметики) (Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показано 5 промежуточных версий 5 участников) | |||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. | Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. | ||
|proof= | |proof= | ||
| − | '''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие. | + | '''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие. |
| − | '''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n | + | '''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. |
}} | }} | ||
[[Категория: Классы чисел]] | [[Категория: Классы чисел]] | ||
Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022
Лемма Евклида
| Лемма: |
Если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел , то делит или . |
| Доказательство: |
|
Пусть делится на , но не делится на . Тогда и — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа и , что Умножая обе части на , получаем |
Основная теорема арифметики
| Теорема: |
Каждое натуральное число представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. |
| Доказательство: |
|
Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего . Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие. Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. |
