1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
{{TODO|t=Чукча не читатель, чукча писатель. Проверить, правильно ли переписано}}
{{TODO|t=Какие-то размахивания руками. Привести в порядок}}
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя удовлетворяющая следующим аксиомам:
# <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.
По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+mx_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>.
Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>.
Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме:
<tex>-\bar\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>.
В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда:
Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены.
Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>.
Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.
}}
<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle ^2 </tex>.
Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_ke_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
}}
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.
|proof=
<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.
