1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
rollbackEdits.php mass rollback
Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:
{{Определение
|definition=
<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат [[Полукольца и алгебры#Алгебра|сигма-алгебре]]).
}}
Измеримость по Лебегу
|statement=
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
|proof=
Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерима измерим <br>1.5) <tex>afkf</tex> {{---}} измеримо измерима (<tex>a k \in \mathbb{R}</tex>) <br>2) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо измерим <br>3) <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо измерима <br>
4) <tex>f \cdot g</tex> {{---}} измеримо <br>
|proof=
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
1.5) Если <tex> k = 0 </tex> , то <tex> f = 0 </tex> и она измерима как постоянная.
Если <tex> k > 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f > \frac{a}{k}) </tex>, если же <tex> k < 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f < \frac{a}{k}) </tex>. Так как <tex> f </tex> — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.
3) Доказывается чуть сложнее
4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
}}
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
