Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега — различия между версиями
(→Теорема Леви: какой-то бред, кажется, но стало получше) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 15 промежуточных версий 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | [[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]] | |
== Теорема Лебега == | == Теорема Лебега == | ||
Строка 8: | Строка 8: | ||
о мажорируемой сходимости | о мажорируемой сходимости | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность | + | Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность суммируемых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая. |
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: | Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: | ||
− | <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex> | + | <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | + | <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex>, следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k} </tex>. | |
<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>. | <tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>. | ||
− | <tex> \forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex> | + | По определению интеграла, <tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex>. |
− | <tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| | + | <tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> |
<tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>) | <tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>) | ||
− | <tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>. | + | <tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>, следовательно, |
+ | <tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>. | ||
− | <tex> | | + | <tex> |f_n|, |f| </tex> мажорируются <tex> \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>. |
Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать. | Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать. | ||
}} | }} | ||
− | Примечание: Так как на множестве конечной меры | + | Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду. |
== Теорема Леви == | == Теорема Леви == | ||
Строка 39: | Строка 40: | ||
Леви | Леви | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>. | + | Пусть на <tex> E </tex> задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex> как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим | + | В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex>, как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна. |
− | <tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex> | + | Если <tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex>, то <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex>, и, по теореме Лебега, равенство выполняется. |
− | <tex> f </tex> — | + | Если же <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>, то для любого <tex> m \in \mathbb N </tex>, по определению интеграла неотрицательной функции, существует <tex> \exists E_m </tex> — хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex>. |
− | + | <tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, значит, константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и, по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f </tex>. Поэтому, начиная с <tex> N, m < \int\limits_{E_m} f_n </tex>. | |
− | <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать. | + | Но <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать. |
}} | }} | ||
Строка 57: | Строка 58: | ||
следствие | следствие | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на <tex> E </tex> | + | Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> | + | Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> с ростом <tex> n </tex> возрастает. Мы хотим установить, что предел <tex> S(x) \rightarrow + \infty </tex> самое большее — на нульмерном множестве. |
− | + | Пусть <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex> и <tex> \mu E_1 > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty </tex>. | |
− | + | Но к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty </tex>, при этом <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k </tex>, а эта сумма имеет конечный предел. | |
+ | |||
+ | Мы пришли к противоречию, значит, <tex> \mu E_1 = 0 </tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 73: | Строка 76: | ||
Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>. | Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | По теореме | + | По теореме Рисса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f </tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E </tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности, можно считать, что <tex> f_n \to f </tex> почти всюду. |
− | <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> | + | Пусть <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> (<tex> g_n </tex> — поточечный минимум); |
<tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> ) | <tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> ) | ||
− | <tex> g_n \le f_n </tex>. <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex> | + | <tex> g_n \le f_n </tex>. Докажем, что <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex> |
− | <tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) | + | <tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex> |
<tex> g_n \le f </tex> | <tex> g_n \le f </tex> | ||
+ | Рассмотрим два случая: | ||
− | <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex> | + | а) <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>: |
− | + | Тогда <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex>, и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex>, неравенство выполняется. | |
− | + | б) <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>. | |
− | Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и | + | Возьмем любое хорошее <tex> E' </tex> для <tex> f </tex>. <tex> E' </tex> — множество конечной меры, <tex> f </tex> на нем ограничена. <tex> \int\limits_{E'} f < + \infty </tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n </tex>. |
+ | |||
+ | Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и, переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E </tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n </tex>, что и требовалось доказать. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | [[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]] | ||
+ | [[Категория:Математический анализ 2 курс]] |
Текущая версия на 19:15, 4 сентября 2022
Теорема Лебега
Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости): |
Пусть на задана последовательность суммируемых функций , таких, что почти всюду, где — суммируемая.
Пусть (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: . |
Доказательство: |
, следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность . . Устремим к бесконечности, тогда . По определению интеграла, , можно подобрать — хорошее для .
(по выбору ) — хорошее, следовательно, , следовательно, на . Тем самым, мажорируются на . удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, . Тогда и , что и требовалось доказать. |
Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
Теорема Леви
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:
Теорема (Леви): |
Пусть на задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и . — почти везде конечна на . Тогда . |
Доказательство: |
В силу поточечной монотонности , , как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.Если , то — суммируемая мажоранта , и, по теореме Лебега, равенство выполняется.Если же , то для любого , по определению интеграла неотрицательной функции, существует — хорошее для .Но ограничена на , мера — конечна, значит, константа, которой определяется , может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для и, по теореме Лебега, . Поэтому, начиная с . , и по свойствам интеграла, и , — произвольное натуральное число, следовательно, , что и требовалось доказать. |
Следствие
Лемма (следствие): |
Пусть и измеримы на , и — сходится. Тогда сходится почти всюду на . |
Доказательство: |
Все интегралы определены (неотрицательные функции). с ростом возрастает. Мы хотим установить, что предел самое большее — на нульмерном множестве.Пусть и . Тогда .Но к частичным суммам на Мы пришли к противоречию, значит, применима теорема Леви и , при этом , а эта сумма имеет конечный предел. . |
Теорема Фату
Теорема (Фату): |
Пусть измеримые неотрицательны на и сходятся на по мере к функции . Тогда . |
Доказательство: |
По теореме Рисса выделяем из сходящуюся почти всюду подпоследовательность. неотрицательна, , следовательно, тоже неотрицательна почти всюду на , интеграл в неравенстве определен. Справа — не уменьшая общности, можно считать, что почти всюду.Пусть ( — поточечный минимум);— измерима ( ) . Докажем, что
Рассмотрим два случая: а) :Тогда — суммируемая мажоранта для , и по теореме Лебега , неравенство выполняется.б) .Возьмем любое хорошее Интеграл по любому хорошему для . — множество конечной меры, на нем ограничена. . Тогда по уже доказанному, . для не превосходит этой константы и, переходя к по , получаем , что и требовалось доказать. |