Функциональный анализ — различия между версиями
(→18. О числах m- и m+) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 7 промежуточных версий 5 участников) | |||
Строка 3: | Строка 3: | ||
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru | Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru | ||
− | |||
− | + | '''Функциональный анализ''' — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. | |
==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)== | ==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)== | ||
Строка 75: | Строка 74: | ||
===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.=== | ===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.=== | ||
− | + | ну компактен, хуле | |
===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).=== | ===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).=== | ||
Строка 193: | Строка 192: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | В | + | В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно |
}} | }} | ||
Строка 478: | Строка 477: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex> | + | <tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex> |
}} | }} | ||
Строка 485: | Строка 484: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| </tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто. | + | Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y</tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто. |
}} | }} | ||
Текущая версия на 19:30, 4 сентября 2022
Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)
- Метрическое пространство есть множество точек с метрикой :
- .
- .
- .
- Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
- Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.
- Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
- Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала на Гильбертовом пространстве существует единственный вектор такой, что для любого . При этом норма линейного функционала совпадает с нормой вектора : . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над изоморофно пространству .
- Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал , определённый на подпространстве линейного пространства и удовлетворяющий условию , где — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве ) то может быть продолжен на все пространство с сохранением этого условия.
- Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
- Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
- Ядром линейного отображения называются подмножество , которое отображается в нуль: . Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Пусть — оператор, действующий в банаховом пространстве . Число λ называется регулярным для оператора , если оператор , называемый резольвентой оператора , определён на всём и непрерывен. Множество регулярных значений оператора называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.
Билеты - 5 семестр
1. Принцип вложенных шаров в полном МП.
Теорема: |
- полное МП, |
2. Теорема Бэра о категориях.
Определение: |
Замыкание | , если - замкнутое, и замкнутого
Определение: |
всюду плотно в , если |
Определение: |
нигде не плотно в , если |
Определение: |
I категории по Бэру в , если (счетное объединение), нигде не плотно в , иначе II категории |
Теорема: |
- полное МП - II категории в |
3. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.
4. Пространство : метрика, покоординатная сходимость.
5. Компактность прямоугольника в .
ну компактен, хуле
6. Постранство S(E, ).
Определение: |
- пространство измеримых функций на по . На этом пространстве определена метрика |
7. Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
Определение: |
Норма |
Определение: |
сходится по норме к , если |
8. Эквивалентность норм в конечномерном НП.
Определение: |
, если |
Теорема (Рисс): |
В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны |
9. Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.
Теорема (следствие из теоремы Рисса): |
- НП, - конечномерное линейное подмножество - замкнутое |
10. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.
Лемма (Рисс, о почти перпендикуляре): |
- собственное подпространство (где ) |
Доказательство: |
(по свойствам inf). Тогда положим из условия леммы равным |
Лемма (пример применения леммы): |
- бесконечномерное НП любой шар в нем - не компакт |
11. Банаховы пространства на примерах С[0,1] и Lp(E).
Определение: |
Банахово пространство - полное нормированное пространство |
Определение: |
- пространство непрерывных функций на . На этом пространстве определена норма |
Определение: |
- пространство измеримых на функций . На этом пространстве определена норма |
12. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
Определение: |
Скалярное произведение |
Равенство параллелограмма:
Неравенство Шварца:
13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.
Теорема: |
14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.
- ортонормированная система.
- абстрактный ряд Фурье
Неравенство Бесселя:
15. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
Определение: |
Гильбертово пространство - полное унитарное пространство. То есть для него выполняется:
|
Определение: |
Пространство сепарабельно, если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество |
Лемма: |
В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно |
16. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.
Теорема (Рисс - Фишер): |
Пусть - ортонормированная система в гильбертовом пространстве , . Тогда и выполняется равенство Парсеваля: |
17.Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества,
Теорема: |
- замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства . Тогда |
Теорема: |
- подпространство . Тогда |
18. Непрерывный линейный функционал и его норма.
Определение: |
Линейный функционал | ограничен, если
Определение: |
Линейный функционал | непрерывен в , если
Лемма: |
непрерывен в непрерывен в |
Теорема: |
непрерывен ограничен |
19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.
Определение: |
Ядро линейного функционала |
Теорема: |
непрерывен замкнуто |
20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.
Лемма: |
Пусть - НП, всюду плотно в , - ограниченный линейный функционал из . Тогда (существует единственное продолжение, сохраняющее норму) |
21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).
Лемма: |
Пусть - линейное множество с введенной на нем полунормой , , , (то есть функционал подчинен полунорме), , . Тогда |
Теорема (Хан - Банах): |
Пусть - линейное множество с введенной на нем полунормой , , , . Тогда , то есть продолжение |
22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
Следствие 1:
- НП,Следствие 2:
- НП, - ЛНЗ (биортогональная система)23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.
Теорема (Рисс): |
, причем |
24. Непрерывный линейный оператор и его норма.
Определение: |
Линейный оператор | ограничен, если
Определение: |
Линейный оператор | непрерывен в , если
Теорема: |
непрерывен ограничен |
25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.
Лемма: |
- Банахово, . Тогда |
26. Полнота пространства L(X,Y).
Определение: |
- пространство непрерывных линейных операторов из в |
Лемма: |
- Банахово - Банахово |
27. Теорема Банаха-Штейнгауза.
Теорема (Банах - Штейнгауз): |
Пусть (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда (то есть последовательность равномерно ограничена) |
28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.
Теорема: |
Пусть - ограниченный линейный оператор из в , и . Тогда замкнуто, |
29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.
Теорема (Банах): |
Пусть - Банахово, . Тогда непрерывно обратим. |
30. Теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема (Банах): |
Пусть - биективный линейный ограниченный оператор из в (оба Банаховы). Тогда |
31. Теорема о замкнутом графике.
Теорема: |
непрерывен замкнут |
32. Теорема об открытом отображении.
Теорема: |
непрерывен, - открыто - открыто |
33. Теорема об открытости резольвентного множества.
Определение: |
Резольвентное множество линейного оператора | - непрерывный
Определение: |
Спектр линейного оператора |
Теорема: |
открыто |
34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.
Лемма: |
35. Спектральный радиус.
Определение: |
Спектральный радиус |
Теорема: |
Относительно спектрального радиуса любого линейного оператора верны следующие утверждения:
|
36. Аналитичность резольвенты.
эммм...
37. Непустота спектра ограниченного оператора.
эммм...
38. А* и его ограниченность.
Определение: |
Сопряженным к оператору | называется такой оператор , что , то есть
Лемма: |
39. Ортогональные дополнения Е и Е*.
Определение: |
Ортогональным дополнением линейного множества | называется множество . . Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.
Лемма: |
40. Ортогональное дополнение R(A).
Теорема: |
Пусть - ограниченный ЛО, замкнуто. Тогда |
41. Ортогональное дополнение R(A*).
Теорема: |
Пусть - ограниченный ЛО, замкнуто. Тогда |
42. Арифметика компактных операторов.
Определение: |
Оператор | компактен, если - ограниченное - относительно компактно
Лемма: |
Компактные операторы обладают следующими свойствами:
|
43. О компактности А*, сепарабельность R(A).
Теорема: |
- компактный - компактный |
44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.
Определение: |
Система точек | называется базисом Шаудера, если любой элемент пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек
45. Почти конечномерность компактного оператора.
Теорема: |
- пространство с базисом Шаудера, - компактный - конечномерный (то есть конечномерно), и компактны |
46. О размерности Ker(I-A) компактного А.
Лемма: |
- компактный |
47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.
Лемма: |
Пусть , и . Тогда - замкнуто. |
48. О замкнутости R(I-A) компактного А.
Лемма: |
Пусть оператор - компактный. Тогда - замкнуто |
49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.
Лемма: |
Пусть оператор - компактный. Тогда |
50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.
Лемма: |
Пусть оператор - компактный. Тогда |
51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.
Теорема (альтернатива Фредгольма - Шаудера): |
Пусть - компактный. Рассмотрим уравнение . Возможны 2 случая:
|
52. О спектре компактного оператора.
Теорема: |
Пусть оператор - компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только |
Билеты - 6 семестр
1. Сопряженный оператор и его ограниченность
Будем работать с
, как с банаховым пространством.Def: Пространство всех линейных функционалов на
образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .Def: Пусть
— непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство . И пусть — сопряжённые пространства. Обозначим . Если — фиксировано, то — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что . называется сопряжённым оператором.Th: Пусть задан линейный оператор
. Тогда норма оператора совпадает с нормой .(оператор проектирования ??)
2. Ортогональные дополнения Е и Е*
Def: Пусть
некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение .Th: Имеют место соотношения:
; .(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)
3. Ортогональное дополнение R(A)
(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)
Th: Пусть задан линейный оператор
, где и банаховы. Тогда .4. Ортогональное дополнение R(A*)
Th: Пусть множество значений оператора
замкнуто: . Тогда верно .
5. Арифметика компактных операторов
Def: Линейный оператор
называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из в относительно компактное множество в .Примером является оператор Фредгольма:
.Установим несколько свойств:
Th: Пусть операторы
такие, что компактен, а ограничен. Тогда операторы и компактны.6. О компактности А*, сепарабельность R(A)
Теорема о компактности сопряженного оператора
7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
Def: Система векторов
топологического векторного пространства называется базисом Шаудера, если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по : , где — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису .8. Почти конечномерность компактного оператора
Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.
9. О размерности Ker(I-A) компактного А
Утв. Пусть
- компактный оператор, . Тогда,Следствие Множество решений операторного уравнения
конечномерно.10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения
Утв. Пусть
и . Тогда, - замкнуто.11. О замкнутости R(I-A) компактного А
Утв. Пусть оператор
- компактный. Тогда, - замкнуто.12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А
Утв. Пусть оператор
- компактный. Тогда :13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е
Утв. Пусть
- компактный оператор. Тогда,14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера
Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)
Пусть
- компактный оператор, -пространство.Тогда,
возможны только 2 случая:- (уравнение разрешимо относительно
15. О спектре компактного оператора
Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта
16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора
Утв. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора
Th. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,- , т.ч.
18. О числах m- и m+
Def.
Def.
Def. Если для некоторого оператора
, то называется неотрицательным.Th. Пусть
- ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, , и19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора
Th. Пусть
- ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда,20. Теорема Гильберта-Шмидта
21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты
Элементы нелинейного функционального анализа.
22. Теорема Банаха о сжимающем отображении
Def: Пусть на замкнутом шаре
, где - метрическое пространство, определён оператор . Он называется сжатием на , если такой, что для выполняется .Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть
и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора неподвижная точка.Теорема Банаха о неподвижной точке
23. Дифференциал Фреше
Рассмотрим
, где и, кроме того, - нормированные пространства.Пусть
. Тогда, очевидно, .Обозначим
.Def. Отображение
называется дифференцируемым по Фреше в точке , если существует оператор такой, что , где несёт следующий смысл: .Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение:
. Подчеркнем, что . Аргументом является "отклонение" некоторой точки от : . А результат применения оператора: с точностью до .Lm. Рассмотрим оператор
, действующий на , и где , , и существует непрерывная по производная . Тогда в любой точке пространства это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по оператором: .24. Неравенство Лагранжа
Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть
-- нормированные пространства, -- некоторый шар в и дан оператор и на всем этом шаре . Тогда для любых , где .25. Локальная теорема о неявном отображении
Th.(о неявном отображении)
Пусть
- шар в , а - шар в , и задан оператор .Пусть
.Пусть
- дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных и .Пусть также
- непрерывно обратим.Тогда задача о неявном отображении для
c начальным решением разрешима в некоторых окрестностях точек , а именно: для любого существует единственное .26. Теорема о локальной обратимости отображения
Следствие локальной теоремы о неявном отображении
Дано отображение
. . Если существует непрерывно-обратимое отображение и отображение существует на всем шаре, то для любого существует единственный .27. Локальная теорема о простой итерации
Th.(о простой итерации)
и существует . Кроме того, пусть . Тогда и выполнено .28. Локальная теорема о методе Ньютона-Канторовича
Th.(о методе Ньютона-Канторовича)
. Кроме этого, пусть на , непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки , в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. и тогда: .29. О проекторах Шаудера
Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть
, где -- нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов на D, и при этом лежит в конечномерном подпространстве .30. Теорема Шаудера о неподвижной точке
Th.(Шаудера) Если
-- ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве и оператор , то у этого оператора на существует неподвижная точка.