Натуральные числа

Определение натуральных чисел

Неформальное определение

Определение:

Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb{N}[/math]. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:

Множество [math]\mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1\in\mathbb N[/math] (единица) и функция [math]S\colon\mathbb N\to\mathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия [math]1\in\mathbb{N}[/math] ([math]1[/math] является натуральным числом); Если [math]x\in\mathbb{N}[/math], то [math]S(x)\in\mathbb{N}[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным); [math]\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)[/math] ([math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом); Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math], тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math], так и за числом [math]c[/math], то [math]b=c[/math]); Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math]. Тогда: если [math]P(1)[/math] и [math]\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))[/math], то [math]\forall n\;P(n)[/math] (Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math], верно и [math]P(n+1)[/math] (индукционное предположение), то [math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math]).

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• [math]0=\varnothing[/math]
• [math]S(n)=n\cup\left\{n\right\}[/math]

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

• [math]0=\varnothing[/math]
• [math]1=\left\{\varnothing\right\}[/math]
• [math]2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}[/math]
• [math]3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}[/math]

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Операции над натуральными числами

Сложение

Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел [math]a\ и\ b[/math]. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

Пусть [math]N(S)\ — [/math] мощность множества [math]S[/math]. Возьмём два не пересекающихся множества [math]A\[/math] и [math]B,\[/math] причём [math]N(A) = a[/math] и [math]N(B) = b[/math]. Тогда [math]a + b[/math] можно определить как: [math]N ( A ∪ B )[/math].

Здесь, [math]A ∪ B\ — [/math] это объединение множеств [math]A\ и B\[/math]. В альтернативной версии этого определения множества [math]A\ и\ B[/math] перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно: Пусть [math]n+\ — [/math] следующее за [math]n[/math] натуральное число, например [math]0+ = 1, 1+ = 2.[/math] Пусть [math]a + 0 = a[/math]. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: [math]a + (b+) = (a + b)+[/math]. Отсюда [math]1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2[/math].

Умножение

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C,\A,\B\[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C], [A], [B].[/math] Тогда арифметическая операция умножение определяется следующим образом: [math][C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\[/math] где: [math]A \times B={(a,\ b) \mid a \in A,\ b \in B}\[/math] прямое произведение множеств — множество [math]C,[/math] элементами которого являются упорядоченные пары [math](a,\ b)[/math] для всевозможных  [math]a \in A,\ b \in B[/math]. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Вычитание

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C , A , B[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C],\ [A],\ [B].[/math] Тогда арифметическая операция вычитание определяется следующим образом: [math][C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\[/math] где [math]A \backslash B = \{ C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \} —\ [/math]разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Деление чисел с остатком

Определение:

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k[/math] , что [math]n = m \cdot k[/math], то деление называется делением с остатком (англ. modulo operation).

Формула деления с остатком: [math]n = m \cdot k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2 \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\, = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 4 \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\ = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] или [math]r\, = 2\,[/math] или [math]r\, = 3\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = m \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Основная теорема арифметики

Лемма Евклида

Лемма:

Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел [math]x\cdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что [math]x\cdot u+p\cdot v=1[/math] (соотношение Безу). Умножая обе части на [math]y[/math], получаем [math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math] Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики

Теорема:

Каждое натуральное число [math]n\gt 1[/math] представляется в виде [math]n=p_1\cdots p_k[/math], где [math]p_1,\ldots ,p_k[/math] — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие. Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]\dfrac{n}{p}[/math], что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math], а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

[math]\triangleleft[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел

Индукция

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Теорема (О существовании минимума):

Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум. Т. е. [math]\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y[/math]

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Утверждение:

Если [math]T(n)[/math] истинно при [math]n = 1,[/math] а из того, что оно истинно при всех [math]n \lt k,[/math] следует, что оно истинно и при [math]n = k,[/math] то [math]T(n)[/math] истинно для всех натуральных значений [math]n[/math].

[math]\triangleright[/math]

Обозначим через [math]A[/math] подмножество натуральных чисел, для которых [math]T(n)[/math] ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть [math]1[/math], так как по условию [math]T(1)[/math] истинно. Значит, [math]k \gt 1[/math]. Но поскольку [math]k[/math] — наименьшее число, для которого [math]T(n)[/math] ложно, то для всех [math]n \lt k[/math] [math]T(n)[/math] истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при [math]n = k[/math]. Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что [math]T(k)[/math] истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что [math]A[/math] не пустое множество, ложно. Значит, [math]A[/math] — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых [math]T(n)[/math] ложно. Что означает, что [math]T(n)[/math] истинно для всех натуральных значений [math]n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Классы чисел
• Математическая индукция
• Основная теорема арифметики

Источники информации

• ”Математика: Справ, материалы: Кн. для учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
• Математическая индукция