Квадратичная иррациональность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
Число <tex>\alpha = a+b\sqrt{D}, a,b\in\mathbb{Q}</tex> называется квадратичной иррациональностью, если оно корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
+
Число вида <tex>\alpha = a+b\sqrt{D}, a,b\in\mathbb{Q}</tex> называется '''квадратичной иррациональностью'''.
  
Число <tex>\overline{\alpha}=a-b\sqrt{D}</tex> называется сопряжённым числом для <tex>\alpha</tex>
+
Число <tex>\overline{\alpha}=a-b\sqrt{D}</tex> называется '''сопряжённым''' числом для <tex>\alpha</tex>
 
}}
 
}}
Свойства квадратичных иррациональностей:
 
  
<tex>\overline{(\alpha\beta)}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}</tex>
+
== Свойства квадратичных иррациональностей ==
 +
* <tex>\overline{(\alpha\beta)}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}</tex>
 +
* <tex>\overline{(\alpha+\beta)}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}</tex>
 +
* <tex>\overline{(\frac{1}{\alpha})}=\frac{1}{(\overline{\alpha})}</tex>
  
<tex>\overline{(\alpha+\beta)}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}</tex>
 
 
<tex>\overline{(\frac{1}{\alpha})}=\frac{1}{(\overline{\alpha})}</tex>
 
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
Число <tex>\alpha</tex> - приведённая квадратичная иррациональность, если <tex>\alpha>1;\overline{\alpha}\in(-1;0)</tex>.
+
Число <tex>\alpha</tex> {{---}} '''приведённая квадратичная иррациональность''', если <tex>\alpha>1;\overline{\alpha}\in(-1;0)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Пример:
+
== Примеры ==
 
+
* <tex>\frac{1+\sqrt{7}}{2}>1</tex> в то же время <tex>\frac{1-\sqrt{7}}{2}\in(-1;0)</tex>. Значит <tex>\frac{1+\sqrt{7}}{2}</tex> {{---}} приведённая квадратичная иррациональность.
<tex>\frac{1+\sqrt{7}}{2}>1</tex> в то же время <tex>\frac{1-\sqrt{7}}{2}\in(0;1)</tex>. Значит <tex>\frac{1+\sqrt{7}}{2}</tex>-приведённая квадратичная иррациональность.
 
  
 
[[Категория:Теория чисел]]
 
[[Категория:Теория чисел]]

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Определение:
Число вида [math]\alpha = a+b\sqrt{D}, a,b\in\mathbb{Q}[/math] называется квадратичной иррациональностью. Число [math]\overline{\alpha}=a-b\sqrt{D}[/math] называется сопряжённым числом для [math]\alpha[/math]


Свойства квадратичных иррациональностей

  • [math]\overline{(\alpha\beta)}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}[/math]
  • [math]\overline{(\alpha+\beta)}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}[/math]
  • [math]\overline{(\frac{1}{\alpha})}=\frac{1}{(\overline{\alpha})}[/math]


Определение:
Число [math]\alpha[/math]приведённая квадратичная иррациональность, если [math]\alpha\gt 1;\overline{\alpha}\in(-1;0)[/math].


Примеры

  • [math]\frac{1+\sqrt{7}}{2}\gt 1[/math] в то же время [math]\frac{1-\sqrt{7}}{2}\in(-1;0)[/math]. Значит [math]\frac{1+\sqrt{7}}{2}[/math] — приведённая квадратичная иррациональность.