Алгоритм построения Эйлерова цикла — различия между версиями
(Добавлена реализация алгоритма поиска Эйлерова цикла за O(E)) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |
(нет различий)
|
Текущая версия на 19:20, 4 сентября 2022
Алгоритм
Описание алгоритма
Алгоритм находит Эйлеров цикл как в ориентированном, так и в неориентированном графе. Перед запуском алгоритма необходимо проверить граф на эйлеровость. Чтобы построить Эйлеров путь, нужно запустить алгоритм из вершины с нечетной степенью.
Алгоритм напоминает поиск в глубину. Главное отличие состоит в том, что пройденными помечаются не вершины, а ребра графа. Начиная со стартовой вершины строим путь, добавляя на каждом шаге не пройденное еще ребро, смежное с текущей вершиной. Вершины пути накапливаются в стеке . Когда наступает такой момент, что для текущей вершины все инцидентные ей ребра уже пройдены, записываем вершины из в ответ, пока не встретим вершину, которой инцидентны не пройденные еще ребра. Далее продолжаем обход по не посещенным ребрам.
Псевдокод
Код проверки графа на эйлеровость:
boolean checkForEulerPath(): int OddVertexfor if ( ) mod OddVertex++ if OddVertex // если количество вершин с нечетной степенью больше двух, то граф не является эйлеровым return false boolean visited( , false) // массив инициализируется значениями false for if ( ) dfs( , visited) break for if ( ) and not visited[ ] // если количество компонент связности, содержащие ребра, больше одной, return false // то граф не является эйлеровым return true // граф является эйлеровым
Код построения эйлерова пути:
function findEulerPath(): // если граф является полуэйлеровым, то алгоритм следует запускать из вершины нечетной степени for if ( ) mod break .push( ) // — стек while not .empty() .top() found_edge = False for if ( ) // нашли ребро, по которому ещё не прошли .push( ) // добавили новую вершину в стек .remove( ) found_edge = True break if not found_edge .pop() // не нашлось инцидентных вершине рёбер, по которым ещё не прошли print( )
Доказательство корректности
Лемма: |
Данный алгоритм проходит по каждому ребру, причем ровно один раз. |
Доказательство: |
Допустим, что в момент окончания работы алгоритма имеются еще не пройденные ребра. Поскольку граф связен, должно существовать хотя бы одно не пройденное ребро, инцидентное посещенной вершине. Но тогда эта вершина не могла быть удалена из стека Но так как после прохода по ребру оно удаляется, то пройти по нему дважды алгоритм не может. , и он не мог стать пустым. Значит алгоритм пройдёт по всем рёбрам хотя бы один раз. |
Вершина
Лемма: |
Напечатанный путь — корректный маршрут в графе, в котором каждые две соседние вершины и будут образовывать ребро . |
Доказательство: |
Будем говорить, что ребро представлено в или , если в какой-то момент работы алгоритма вершины и находятся рядом. Каждое ребро графа представлено в . Рассмотрим случай, когда из в перемещена вершина , а следующей в лежит . Возможны 2 варианта:
|
Теорема: |
Данный алгоритм находит корректный эйлеров путь. |
Доказательство: |
Из предыдущих лемм следует, что | — искомый эйлеров путь и алгоритм работает корректно.
Рекурсивная реализация
function findEulerPath(: Vertex): for remove findEulerPath( ) print( )
Время работы
Если реализовать поиск ребер инцидентных вершине и удаление ребер за
Чтобы реализовать поиск за , для хранения графа следует использовать списки смежных вершин; для удаления достаточно добавить всем ребрам свойство бинарного типа.
Рекурсивная реализация за
Заведём 2 массива:
- посещено ли ребро с индексом
(массив нужен, чтобы за проверять, доступно ребро или нет)
- индекс первой вершины в списке смежных вершин, такой что ребро не посещено
(массив нужен, чтобы в среднем за находить доступное ребро)
Изначально оба массива заполнены нулями.
Граф будем хранить в виде списков смежных вершин. Для каждой вершины
- индекс ребра
- номер смежной вершины
После ввода графа нужно запустить
function euler(): while (first[ ] < g[ ].size()): //если first[ ] = g[ ].size, рёбра во все смежные вершины уже посещены , = g[ ][first[ ]] first[ ] += 1 if (!vis[ ]):
vis[ ] = true
euler( )
print( )