Ковариация случайных величин — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Вычисление)
(Свойства ковариации)
Строка 21: Строка 21:
 
* Пусть <tex>\eta_1,\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда
 
* Пусть <tex>\eta_1,\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда
 
: <tex>Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)</tex>.
 
: <tex>Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)</tex>.
В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.
 
 
* Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
 
* Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
 
: <tex>Cov(\eta,\eta) = \mathrm{D}[\eta]</tex>.
 
: <tex>Cov(\eta,\eta) = \mathrm{D}[\eta]</tex>.

Версия 09:04, 15 декабря 2011

Определение:
Ковариация случайных величин — мера линейной зависимости случайных величин.


Вычисление

Обозначается как [math]Cov(\eta, \xi) [/math], где [math]\eta, \xi[/math] - случайные величины.

В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:

[math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi - E\xi)(\eta - E\eta) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) = [/math]
[math]= E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Итого, [math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]

Свойства ковариации

  • Ковариация симметрична:
[math]Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)[/math].
  • Пусть [math]\eta_1,\ldots, \eta_n[/math] случайные величины, а [math]\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j[/math] их две произвольные линейные комбинации. Тогда
[math]Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)[/math].
  • Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
[math]Cov(\eta,\eta) = \mathrm{D}[\eta][/math].
  • Если [math]\eta,\xi[/math] независимые случайные величины, то
[math]Cov(\eta,\xi) = 0[/math].

Обратное, вообще говоря, неверно.

  • Неравенство Коши — Буняковского:
[math]Cov^2(\eta,\xi) \leq \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math].

Ссылки