Основная теорема арифметики — различия между версиями
(→Собственно теорема) |
|||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
===Собственно теорема=== | ===Собственно теорема=== | ||
| + | {{Теорема | ||
| + | |id=th666 | ||
| + | |statement= | ||
Каждое натуральное число <math>n>1</math> представляется в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. | Каждое натуральное число <math>n>1</math> представляется в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. | ||
| − | + | |proof= | |
| − | '''Существование'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <math>n</math> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <math>n</math> тоже является произведением простых чисел. Противоречие. | + | '''Существование'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <math>n</math> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <math>n</math> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.'return' |
'''Единственность'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <math>p</math> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <math>p</math> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <math>p</math> и получить два разных разложения числа <math>n/p</math>, что невозможно. А если <math>p</math> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <math>p</math>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. | '''Единственность'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <math>p</math> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <math>p</math> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <math>p</math> и получить два разных разложения числа <math>n/p</math>, что невозможно. А если <math>p</math> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <math>p</math>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. | ||
| − | + | }} | |
[[Категория: Классы чисел]] | [[Категория: Классы чисел]] | ||
Версия 08:55, 29 сентября 2010
Эта статья находится в разработке!
Содержание
Эквивалентность двух определений простых чисел
Основная теорема арифметики
Лемма Евклида
| Лемма: |
Если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел , то делит или . |
| Доказательство: |
|
Пусть делится на , но не делится на . Тогда и — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа и , что
Умножая обе части на , получаем |
Собственно теорема
| Теорема: |
Каждое натуральное число представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. |
| Доказательство: |
|
Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.'return' Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. |
