Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке — различия между версиями
(вроде избавил от треша) |
|||
Строка 3: | Строка 3: | ||
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | ||
+ | |||
+ | __TOC__ | ||
+ | |||
+ | == Теорема Дини == | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 29: | Строка 33: | ||
Выведем некоторые следствия | Выведем некоторые следствия | ||
+ | |||
+ | === Следствие о четырех пределах === | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|about=следствие 1 (о четырёх пределах) | |about=следствие 1 (о четырёх пределах) | ||
− | |statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \ | + | |statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex> |
− | <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, | ||
− | <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна | ||
− | <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная. | ''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная. | ||
Строка 49: | Строка 52: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
− | |statement=Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | + | |statement= |
+ | Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>. | ||
Тогда <tex>y = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex> | Тогда <tex>y = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
Строка 60: | Строка 64: | ||
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n\ to s</tex>, то и <tex>\delta_n\to s</tex>. | Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n\ to s</tex>, то и <tex>\delta_n\to s</tex>. | ||
− | Тогда, по | + | Тогда, по единственности предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex> |
− | + | }} | |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement=<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex> | |statement=<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex> | ||
|proof=Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n \to f</tex>, <tex>\delta_n \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по | |proof=Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n \to f</tex>, <tex>\delta_n \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по | ||
− | единственности предела, <tex>f=g</tex> | + | единственности предела, <tex>\ f=g</tex> |
}} | }} |
Версия 14:51, 23 июня 2012
Эта статья находится в разработке!
TODO: Прочитайте ну хоть кто-то, это адекватно вообще? А то чукча не читатель, чукча — писатель
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что
, что равносильно .Содержание
Теорема Дини
Теорема (Дини): |
, , — конечен. Тогда |
Доказательство: |
По лемме Римана-Лебега, так как — суммируемая, первое слагаемое при стремится к 0.Так как, по условию, ,Тогда по выбору и по условиям теоремы. по лемме Римана-Лебега, так как — суммируемая, а — ограниченная и суммируемая. |
Выведем некоторые следствия
Следствие о четырех пределах
Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)): |
Пусть в точке существует (левый и правый пределы) и , . Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна |
Примечание: Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке у есть производная.Доказательство сводится к проверке условий Дини для
Первое слагаемое стремится на бесконечности к Значит, , второе — к . ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая. |
Утверждение: |
Пусть — регулярная точка функции и .
Тогда |
— регулярная точка по следствию теоремы Фейера,
Но суммы Фейера — способ средних арифметических для сумм ряда Фурье. Способ средних арифметических регулярен: то есть, если Тогда, по единственности предела, , то и . |
Утверждение: |
, , , тогда |
Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности единственности предела, , , . Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по |