Теоремы Карзанова о числе итераций алгоритма Диница в сети с целочисленными пропускными способностями

Определения

Определение:

Пусть [math]N = (V,E,s,t,c)[/math] — сеть с целочисленными пропускными способностями. Обозначим [math]C = \max\limits_{uv \in E} c_{uv}[/math] и [math]F[/math] как максимальный поток. [math]c^{+}(v) = \sum\limits_{uv \in E} c_{uv}[/math]. [math]c^{-}(v) = \sum\limits_{vu \in E} c_{vu}[/math]. [math]p(v) = min\big\{c^{+}(v), c^{-}(v)\big\}[/math] — потенциал вершины [math]v[/math]. Тогда общий потенциал выражается формулой: [math]P = \sum\limits_{v \in V, v \neq s,t}p(v)[/math]. Остаточную сеть обозначим [math]G_f[/math]. Обозначим длину слоистой сети [math]l[/math] — как длину кратчайшего [math]s-t[/math] пути в [math]G_f[/math].

Теоремы

Лемма (1):

Пусть [math]l[/math] — расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math] в исходной сети, максимальный поток в этой сети равен [math]F[/math]. Тогда [math]l \leqslant \frac{P}{F} + 1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]l[/math] — расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math], а [math]V_i[/math] — набор вершин, удаленных от [math]s[/math] на [math]i[/math] [math](i \leqslant l)[/math]. [math]V_i[/math] — разъединяющее множество узлов: при его удалении исчезают все пути из [math]s[/math] в [math]t[/math]. Следуя закону сохранения потока, если [math]f[/math] обозначить как любой допустимый поток, то [math]|f|[/math] единиц потока должно проходить через [math]V_i[/math]. Но суммарное количество потока, которое может проходить через любую вершину не превосходит ее потенциала. Отсюда, если обозначить [math]P_i[/math] как общий потенциал вершин из [math]V_i[/math], то мы имеем: [math]|f| \leqslant P_i[/math] для любого допустимого потока [math]f[/math]. В частности, [math]F \leqslant P_i[/math], таким образом получаем: [math](l - 1)F \leqslant \displaystyle \sum_{i = 1}^{l - 1} P_i \leqslant P[/math] и лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

Пусть [math] N [/math] — сеть, а [math]f[/math] — допустимый поток в этой сети. Тогда общий потенциал в остаточной сети [math]G_f[/math] равен общему потенциалу [math]N[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]c_f[/math] — функция пропускных способностей в [math]G_f[/math], а [math]p_f(v), in_f(v), out_f(v)[/math] — потенциал, множество входящих ребер и множество выходящих ребер вершины [math]v[/math] из [math]G_f[/math]. Достаточно доказать, что [math]p_f(v) = p(v)[/math]. Ребру [math]e[/math] из [math]in(v)[/math] соответствуют ребро [math]e_1[/math] из [math]in_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]c(e) - f(e)[/math], и ребро [math]e_2[/math] из [math]out(v)[/math] с пропускной способностью [math]f(e)[/math]. Аналогично, ребру [math]e[/math] из [math]out(v)[/math] соответствуют ребра из [math]out_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]c(v) - f (v)[/math] и [math]in_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]f(e)[/math]. Используя закон сохранения потока, нетрудно проверить, что [math]\displaystyle\sum_{e\in in_f(v)} c_f(e) = \sum_{e\in in(v)}c(e)[/math] и [math]\displaystyle\sum_{e\in out_f(v)} c_f(e) = \sum_{e\in out(v)}c(e)[/math] что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Первая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница в сети [math]N[/math] ([math]s[/math] — исток, [math]t[/math] — сток) с целочисленными пропускными способностями — [math]O(\sqrt{P})[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]F[/math] — максимальный поток в сети [math]N[/math]. Теорема верна для [math]F \leqslant \sqrt{P}[/math], так как после каждой фазы поток увеличивается хотя бы на 1. Если [math]F \gt \sqrt{P}[/math], рассмотрим последнюю фазу, на момент начала выполнения которой поток в сети был меньше, чем [math]F - \sqrt{P}[/math]. После этого потребуется не больше [math]\sqrt{P}[/math] фаз, чтобы найти максимальный поток. На предыдущей фазе поток ([math]f[/math]) в [math]N[/math] был не больше [math]F-\sqrt{P}[/math], таким образом [math]F-|f| \geqslant \sqrt{P}[/math]. [math]G_f[/math] — сеть с максимальным потоком [math]F-|f|[/math] и потенциалом [math]P[/math] (по Лемме(2)). Поэтому можно воспользоваться Леммой(1), чтобы оценить расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math] в [math]G_f[/math], и получить оценку длины [math]l[/math] слоистой сети: [math]l \leqslant \frac{P}{F-|f|} + 1[/math] Так как каждая фаза увеличивает длину слоистой сети минимум на один, то осуществляется не больше [math]\sqrt{P}[/math] фаз. Таким образом происходит не более [math]2\sqrt{P}[/math] фаз.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3):

Пусть в сети [math]N[/math] нет параллельных ребер. Пусть [math]F[/math] — максимальный поток в [math]N[/math]. Тогда расстояние [math]l[/math] между [math]s[/math] и [math]t[/math] в [math]N[/math] таково: [math]l \leqslant |V|\sqrt{\frac{2C}{F}} - 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]V_i[/math] как набор вершин на расстоянии [math]i[/math] от [math]s[/math]. Множества [math]X = \bigcup_{i = 0}^k V_i[/math] и [math]Y = V - X[/math] определяют разрез [math](X, Y)[/math]. Пропускная способность этого разреза не больше [math]2C|V_k||V_{k + 1}|[/math], так как все ребра между [math]X[/math] и [math]Y[/math] также являются ребрами между [math]V_k[/math] и [math]V_{k+1}[/math] и не более чем двумя параллельными ребрами, исходящими из какой-то вершины в остаточной сети. По теореме о максимальном потоке/минимальном разрезе, [math]F \leqslant 2C|V_k||V_{k+1}|[/math]. Таким образом [math]F[/math] ограничен наименьшим из [math]|V_k||V_{k+1}|[/math]. Но эта величина максимальна, когда [math]|V_i| = |V|/(l+1)[/math] для [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math], таким образом [math]F \leqslant 2C|V|^2 / (l+1)^2[/math]. Выражая [math]l[/math], получаем нужное.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Вторая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница с целочисленными пропускными способностями — [math]O(C^{1/3}|V|^{2/3})[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math]F \leqslant C^{1/3}|V|^{2/3}[/math], то теорема очевидна. Положим, что [math]F \gt C^{1/3}|V|^{2/3}[/math], и рассотрим последнюю фазу, в которой поток [math]f[/math] не превышает [math]F - C^{1/3}|V|^{2/3}[/math]. В этот момент осталось не более [math]C^{1/3}|V|^{2/3} + 1[/math] фаз, и [math]G_f[/math] — сеть с максимальным потоком [math]F - |f| \ge C^{1/3}|V|^{2/3}[/math]. Мы можем применить Лемму(3), чтобы оценить длину [math]l[/math] слоистой сети, и, соответственно, количество выполненных фаз: [math]l \leqslant |V|{(\frac{2C}{F-|f|})}^{1/2} - 1 \leqslant 2^{1/2}C^{1/3}|V|^{2/3} - 1[/math]. Таким образом, прошло [math]O(C^{1/3}|V|^{2/3})[/math] фаз, и [math]O(C^{1/3}|V|^{2/3})[/math] фаз осталось. Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• On the efficiency of Maximum-Flow Algorithms on Networks with Small Integer Capacities. David Fernandez-Baca and Charles U.Martel
• Андрей Станкевич: Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12