Изменения

Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br/>1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.<br/>2) <tex>\alpha \to 0 \Rightarrow |\alpha| \le 1,</tex>по условию теоремы<tex> \exists U(0)</tex> - уравновешенное <tex> \Rightarrow \alpha U(0) \subset U(0) \Rightarrow \alpha u \to 0 </tex>.<br/>3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \Rightarrow 2U_1(0) \subset U(0)</tex>. Раз <tex>U_1(0)</tex> - окрестность 0 <tex> \Rightarrow \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \Rightarrow 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex> <tex> \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{TODOn_1}} |t= дальше ничего что-то не понимаю< 1 \Rightarrow </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), запилите кто-нибудь,а?2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \Rightarrow 2^{n_1} u \in U(0) \Rightarrow {\lambda_0 \over 2^{n_1}}2^{n_1}u \in U(0) \Rightarrow \lambda_0 u \in U \Rightarrow \lambda_0 u \to 0</tex>.<br/>Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.