Иерархия Хомского формальных грамматик

Определение:

Иерархия Хомского — классификация формальных грамматик и задаваемых ими языков, согласно которой они делятся на 4 класса по их условной сложности.

Класс 0

К нулевому классу относятся все формальные грамматики. Элементы этого класса называются неограниченными грамматиками, поскольку на них не накладывается никаких ограничений. Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.

Класс 1

Первый класс представлен неукорачивающими и контекстно-зависимыми грамматиками.

Определение:

Неукорачивающие грамматики — это те формальные грамматики, всякое правило из [math]P[/math] которых имеет вид [math]\alpha\rightarrow\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] и [math]|\alpha|\leq|\beta|[/math] (возможно правило [math]$S$ \to \varepsilon[/math], но тогда [math]$S$[/math] не встречается в правых частях правил).

Определение:

Контекстно-зависимые грамматики — это те формальные грамматики, всякое правило из [math]P[/math] которых имеет вид [math]\alpha A \beta\rightarrow\alpha\gamma\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{*}[/math], [math]A \in N[/math] и [math]\gamma \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] (возможно правило [math]$S$ \to \varepsilon[/math], но тогда [math]$S$[/math] не встречается в правых частях правил).

Как будет показано далее, неукорачивающие грамматики эквивалентны контекстно-зависимым.

Класс 2

Второй класс составляют контекстно-свободные грамматики.

Определение:

Контекстно-свободные грамматики — это те формальные грамматики, всякое правило из [math]P[/math] которых имеет вид [math]A \rightarrow\beta[/math], где [math]A\in N [/math], [math]\beta \in \{\Sigma \cup N\}^{+}[/math].

Класс 3

Элементами третьего класса являются праволинейные (автоматные) грамматики.

Определение:

Праволинейные (автоматные) грамматики — это те формальные грамматики, всякое правило из [math]P[/math] которых имеет вид [math]A \rightarrow tB[/math] либо [math]A \rightarrow t[/math], где [math]A\in N[/math],[math]B\in N[/math], [math]t\in \Sigma [/math].

Распознавание

Для языков, которые задаются грамматиками из иерархии Хомского, есть машины, которые их распознают. Следующая таблица обобщает классы иерархии Хомского, языки, которые ими задаются, и машины, которые распознают эти языки.

Грамматика	Языки	Машина
Класс 0	рекурсивно перечислимые	машина Тьюринга
Класс 1	контекстно-зависимые	ЛПА
Класс 2	контекстно-свободные	автоматы с магазинной памятью
Класс 3	регулярные	конечные автоматы

Источники

Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. М.: Мир, 1978. - Т. 1,2.