Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Теорема:
Для любой неукорачивающей грамматики [math]\Gamma_1[/math] существует эквивалентная контекстно-зависимая грамматика [math]\Gamma_2[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим правило из [math]\Gamma_1 = \langle \Sigma, N_1, S \in N_1, P \in N_1^{*}\times (\Sigma\cup N_1)^{*}\rangle[/math]. Будем строить правила для контекстно-зависимой грамматики [math]\Gamma_2[/math]. Каждое правило [math]X_1 X_2 \ldots X_n \to Y_1 Y_2 \ldots Y_m[/math], где [math]m \geqslant n[/math], из [math] \Gamma_1[/math] заменим набором следующих правил:

[math] X_1 X_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 X_2 X_3 \ldots X_n,\\ Z_1 X_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 X_3 \ldots X_n,\\ Z_1 Z_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 Z_3 \ldots X_n,\\ \vdots\\ Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} X_n \to Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} Z_n,\\ Z_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n,\\ Y_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Y_2 Z_3 \ldots Z_n,\\ Y_1 Y_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Z_n,\\ \vdots\\ Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Y_{n-1} Z_n \to Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Y_{n-1} Y_n \ldots Y_m.\\ [/math]

Причём нетерминалы [math]Z_{*}[/math] свои для каждого правила из [math]\Gamma_1[/math] и [math]Z_{*} \notin N_1[/math].

В словах языка, задаваемого грамматикой, не может быть нетерминалов, поэтому если в процессе вывода будет применено правило [math]X_1 X_2 \ldots X_n \to Z_1 X_2 \ldots X_n[/math], то впоследствии должны быть применены все остальные правила. В противном случае нетерминалы [math]Z_1[/math] или [math]Z_n[/math] будут присутствовать в выведенном слове.

Правила вида [math]$K$ \to \varepsilon[/math], где [math]$K$ \in N_1[/math] оставляем без изменений.

По определению в [math]\Gamma_1[/math] нет правил другого вида. Получившаяся грамматика [math]\Gamma_2[/math] является эквивалентной грамматике [math]\Gamma_1[/math], так в результате применения набора правил строка [math]X_1 X_2 \ldots X_n[/math] перейдёт в строку [math]Y_1 Y_2 \ldots Y_m[/math]. Осталось заметить, что по определению получившаяся грамматика [math]\Gamma_2[/math] является контекстно-зависимой.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Любая контекстно-зависимая грамматика является неукорачивающей.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Заметим, что в определении контекстно-зависимой грамматики [math]\gamma[/math] не пуста, поэтому [math]|\alpha A \beta| \leqslant |\alpha \gamma \beta|[/math]. Следовательно, такая грамматика является неукорачивающей по определению.
[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, для любой неукорачивающей грамматики можно построить эквивалентную ей контекстно-зависимую, а любая контекстно-зависимая грамматика является неукорачивающей. Значит, эти грамматики задают один и тот же класс языков.

См. также[править]

Источники информации[править]