Квадратичная иррациональность

Определение:

Число [math]\alpha = a+b\sqrt{D}, a,b\in\mathbb{Q}[/math] называется квадратичной иррациональностью, если оно корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Число [math]\overline{\alpha}=a-b\sqrt{D}[/math] называется сопряжённым числом для [math]\alpha[/math]

Свойства квадратичных иррациональностей:

[math]\overline{(\alpha\beta)}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}[/math]

[math]\overline{(\alpha+\beta)}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}[/math]

[math]\overline{(\frac{1}{\alpha})}=\frac{1}{(\overline{\alpha})}[/math]

Определение:

Число [math]\alpha[/math] - приведённая квадратичная иррациональность, если [math]\alpha\gt 1;\overline{\alpha}\in(-1;0)[/math].

Пример:

[math]\frac{1+\sqrt{7}}{2}\gt 1[/math] в то же время [math]\frac{1-\sqrt{7}}{2}\in(0;1)[/math]. Значит [math]\frac{1+\sqrt{7}}{2}[/math]-приведённая квадратичная иррациональность.