Цепная дробь — различия между версиями
(→Свойства цепных дробей) |
|||
Строка 31: | Строка 31: | ||
** <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex> | ** <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex> | ||
** <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex> | ** <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex> | ||
+ | * <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex> | ||
* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex> | * <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex> | ||
Версия 07:15, 3 июля 2010
Содержание
Определение
Определение: |
Цепная дробь — это выражение вида
|
Цепные дроби как приближение к числу
Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях
, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как .Периодичность цепных дробей
Цепная дробь квадратичной иррациональности — периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности — чисто периодична.
Примеры разложения чисел в цепные дроби
Числитель и знаменатель цепной дроби можно записать в виде полиномов от переменных
. При этом, поскольку числитель каждой дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей и знаменателей имеют одинаковый вид. Таким образом, цепная дробь представима в виде , где — некоторый полином от переменной.Свойства цепных дробей
- — полином от переменной, состоящий из мономов.
- .
- .
- Для числителей и знаменателей
Доказательства свойств
Лемма (1): |
. |
Доказательство: |
Следовательно . . |
Лемма (2): |
— полином от переменной, состоящий из мономов. |
Доказательство: |
База. При : — полином от одной переменной с одним мономом. — два монома. Переход. Пусть верно, что в монома. Докажем, что в монома. В нет мономов, содержащих . Значит в слагаемых. |
Теорема (1): |
Доказательство: |
База: Пусть верно для всех . Докажем для .
Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : .Докажем для больших :. Используя условие теоремы для получаем :
Следовательно получаем : . |
Лемма (3): |
. |
Доказательство: |
Эта формула аналогична формуле из Леммы 1, за исключением того, что "отщепляются" с другого конца. Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты Леммы 1 и Теоремы 1. |