Гильбертовы пространства — различия между версиями
| Строка 30: | Строка 30: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда '''ортогональным дополнением''' называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H | + | Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда '''ортогональным дополнением''' называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$. |
}} | }} | ||
| Строка 53: | Строка 53: | ||
Таким образом, для любого $y$ из $Y$ подобрали $z_{\varepsilon}$ из $X$, что $\|z_{\varepsilon} - y \|$ не меньше $1 - \varepsilon$, а тогда и $\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ будет не меньше $1 - \varepsilon$ по свойствам инфимума. | Таким образом, для любого $y$ из $Y$ подобрали $z_{\varepsilon}$ из $X$, что $\|z_{\varepsilon} - y \|$ не меньше $1 - \varepsilon$, а тогда и $\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ будет не меньше $1 - \varepsilon$ по свойствам инфимума. | ||
| − | TODO: 1) нахера тут что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $X$ или что? 2) нахера $ge 1 - \varepsilon$, почему нельзя просто $\ge \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы((( | + | TODO: 1) нахера тут что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $X$ или что? Вообще, при чем тут что-то собственное, вроде никакого оператора тут не наблюдается? 2) нахера $\ge 1 - \varepsilon$, почему нельзя просто $\ge \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы((( |
}} | }} | ||
| − | {{ | + | {{Теорема |
| − | |about= | + | |about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве |
|statement= | |statement= | ||
| − | Если $X$ - бесконечномерное НП | + | Если $X$ - бесконечномерное НП, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}$ в нем не компактен. |
|proof= | |proof= | ||
| − | Возьмем $x \in S_1$ | + | Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}$, заметим, что $x_2$ окажется в $S_1$. |
| + | |||
| + | $Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)$, опять применим лемму Рисса, существует $x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2$, $x_3$ будет в $S_1$. | ||
| + | |||
| + | Продолжаем так же для $Y_3 \dots Y_n \dots$. Процесс никогда не завершится, так как $X$ — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в $S_1$, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как $\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}$, следовательно, $S_1$ не компактно. | ||
}} | }} | ||
Версия 21:04, 1 января 2013
Эта статья находится в разработке!
<wikitex>
| Определение: |
Скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам:
|
Пример:
- $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
- $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, \rangle y = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.
В УП выполняется неравенство Шварца : $|\langle x, \langle y| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$
УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.
Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$.
| Определение: |
| Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением. |
TODO: какая-то хурма про наилучшее приближение
| Определение: |
| Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда ортогональным дополнением называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$. |
TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму
| Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре): |
Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \ |
| Доказательство: |
|
Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \ |
| Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве): |
Если $X$ - бесконечномерное НП, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \ |
| Доказательство: |
| Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \ |
Ссылочки:
</wikitex>
