Сортировка

<wikitex> Сортировкой называется процесс упорядочивания множества объектов по какому-либо признаку.

Так как данные могут хранится в разных структурах, то и алгоритмы для каждой структуры могут отличаться. Например, при хранении данных в списке сортировка кучей потребует $O(n^2 \log n)$ времени против $O(n \log n)$ с использованием массива; а вот сортировка пузырьком не изменится.

Также есть алгоритмы параллельной сортировки данных (т.н. Сортирующие сети), время работы которых в лучшем случае $O(\log n)$.

Классификация сортировок

Время работы

Эту классификацию обычно считают самой важной. Оценивают худшее время алгоритма, среднее и лучшее. Лучшее время — минимальное время работы алгоритма на каком-либо наборе, обычно этим набором является тривиальный $\big[ 1 \ldots n \big] $. Худшее время — наибольшее время. У большинства алгоритмов временные оценки бывают $O(n \log n)$ и $O(n^2)$.

Память

Параметр сортировки, показывающий, сколько дополнительной памяти требуется алгоритму. Сюда входят и дополнительный массив, и переменные, и затраты на стек вызовов. Обычно затраты бывают $O(1)$, $O(\log n)$, $O(n)$.

Устойчивость

Устойчивой сортировкой называется сортировка, не меняющая порядка объектов с одинаковыми ключами. Ключ — поле элемента, по которому мы производим сортировку.

Количество обменов

Количество обменов может быть важным параметром в случае, если объекты имеют большой размер. В таком случае при большом количестве обменов время алгоритма заметно увеличивается.

Детерминированность

Алгоритм сортировки называется детерминированным, если каждая операция присваивания, обмена и т.д. не зависит от предыдущих. Все сортирующие сети являются детерминированными.

Сравнение сортировок

Рассмотрим массив $\big[ 1 \ldots n \big]$. Для элементов должно выполняться отношение порядка.

Название	Лучшее время	Среднее	Худшее	Память	Устойчивость	Обмены (в среднем)	Описание
Сортировка пузырьком (Bubble Sort)	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	Да	$O(n^2)$	Алгоритм состоит в повторяющихся проходах по сортируемому массиву. На каждой итерации последовательно сравниваются соседние элементы, и, если порядок в паре неверный, то элементы меняют местами.
Сортировка вставками (Insertion Sort)	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	Да	$O(n^2)$	На каждом шаге алгоритма мы выбираем один из элементов входных данных и вставляем его на нужную позицию в уже отсортированной части массива до тех пор, пока весь набор входных данных не будет отсортирован.
Сортировка выбором (Selection Sort)	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	Нет	$O(n)$	На $i$-ом шаге алгоритма находим минимальный среди последних $n - i + 1$, и меняем его местами с $i$-ым элементом в массиве.
Быстрая сортировка (Quick Sort)	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(n^2)$ (маловероятно)	$O(\log n)$ (стек вызовов)	Нет	$O(n \log n)$	Один из самых известных и широко используемых алгоритмов сортировки. Алгоритм состоит в выборе опорного элемента, разделении массива на 2 части относительно опорного (одна — все элементы, меньшие опорного элемента, вторая — большие), и в сортировке полученных частей рекурсивным вызовом себя от них.
Сортировка слиянием (Merge Sort)	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(n)$ (обычная реализация) $O(\log n)$ (модифицированная реализация)	Да	$O(n \log n)$	Алгоритм состоит в разделении массива пополам, сортировки половин и их слиянии.
Сортировка кучей (Heap Sort)	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(1)$	Нет	$O(n \log n)$	Строим из массива кучу, по очереди извлекаем минимум кучи.
Сортировка с помощью бинарного дерева (Tree Sort)	$O(n)$	$O(n \log n)$	$O(n \log n)$	$O(n)$	Да	$O(n)$	Добавляем по очереди вершины в сбалансированное дерево поиска, проходим по всем вершинам в порядке возрастания.
Карманная сортировка (Bucket Sort)	$O(n + k)$	$O(n \log_k n)$	$O(n \cdot k)$	$O(n)$	Да	-	Распределяем элементы в $k$ карманов, сортируем элементы внутри карманов, из каждого кармана данные записываются в массив в порядке разбиения.
Цифровая сортировка (Radix Sort)	$O(n \lg n)$	$O(n \lg n)$	$O(n \lg n)$	$O(n)$	Да	-	Сортировка объектов равной длины, имеющих "разряды". обычно это строки или целые числа. Алгоритм состоит в том, чтобы отсортировать объекты по разрядам, начиная от младших к старшим.
Сортировка подсчетом (Counting Sort)	$O(n)$	$O(n + k)$	$O(k)$	$O(k)$	Да	$O(n + k)$	Сортировка целых чисел, входящих в какой-то небольшой диапазон. Создаем массив длины диапазона $k$, каждый элемент которого будет показывать, сколько исходных элементов равны данному. Бежим по массиву и считаем количество вхождений каждого числа.
Сортировка Хэна (Han's Sort)	$O(n \log \log n)$	$O(n \log \log n)$	$O(n \log \log n)$	$O(n)$	Да	$O(n \log \log n)$	Очень сложная сортировка, основанная на принадлежности ключей к целым числам. использует экспоненциальное поисковое дерево Андерсона.
Сортировка Шелла (Shellsort)	$O(n\log^2{n})$	Зависит от выбора шага	$O(n^2)$	$O(1)$	Нет	$O(n^2)$	Является улучшением сортировки вставками, сортируем между собой элементы, стоящие на кратных нашему шагу местах.
Терпеливая сортировка (Patience sorting)	$O(n\log{n})$	$O(n\log{n})$	$O(n\log{n})$	$O(n)$	Нет	$O(n\log{n})$	Раскидываем элементы массива по стопкам, после чего строим двоичную кучу из стопок. Позволяет также вычислить длину наибольшей возрастающей подпоследовательности данного массива.
Timsort	$O(n)$	$O(n\log{n})$	$O(n\log{n})$	$O(n)$	Да	$O(n\log{n})$	Гибрид сортировки слиянием. Разбиваем массив на подмассивы фиксированной длины и сортируем каждый подмассив любой устойчивой сортировкой. После чего объединяем отсортированные подмассивы модифицированной сортировкой слиянием.
Плавная сортировка (Smoothsort)	$O(n)$	$O(n\log{n})$	$O(n\log{n})$	$O(1)$	Нет	$O(n\log{n})$	Модификация сортировки кучей.

Источники информации

Википедия — Алгоритмы сортировки </wikitex>