Натуральные числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (источники информации добавить, см также добавить, заменить дефисы на тире, там где должно быть тире)
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
м
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
Строка 46: Строка 46:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
* ”Математика:  Справ,  материалы:  Кн.  для  учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
 
* ”Математика:  Справ,  материалы:  Кн.  для  учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F/ Математическая индукция]
+
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Математическая индукция]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 17:41, 10 мая 2018

Деление чисел с остатком

Определение:
Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m\,[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k\,[/math] , что [math]n = m\,k,[/math] то деление называется делением с остатком.


Формула деления с остатком: [math]n = m\,k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = 4\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]2\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]3\,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = m\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел

Индукция

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Теорема (О существовании минимума):
Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум. Т. е. [math]\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Если [math]1 \in A[/math], то [math]1[/math] и есть min. Иначе [math]1 \notin A[/math] Если [math]2 \in A[/math], то [math]2[/math] и есть min. Иначе [math]2 \notin A[/math]

[math]P(n)[/math] — все элементы [math]\leqslant n[/math] не лежат в [math]A[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]P(1) ... P(n)[/math] — верно и [math]P(n+1)[/math] — верно (т.к. он был бы min) [math]\Rightarrow[/math] в [math]A[/math] ничего не лежит. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • ”Математика: Справ, материалы: Кн. для учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
  • Математическая индукция

См. также