Классические теоремы теории измеримых функций
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
Лемма: |
Пусть функциональная последовательность — измерима на и . Тогда существует последовательность , такая что почти всюду сходится на . (Другими словами, из сходимости в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности). |
Доказательство: |
Для начала, докажем от нечего делать обратное утверждение:
То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе. Возьмём . Например, .В силу условия леммы, для Рассмотрим , :
Раз , (По выбору )
Раз ,Продолжаем по индукции :
как остаток сходящегося положительного ряда . , , по монотонности меры, . Значит, . Рассмотрим и установим, что на этом множестве последовательность функций сходится. Тогда, в силу нульмерности , что она будет сходиться на уже почти всюду.. Так как , то есть , такой, что .
Раз ,Рассмотрим теперь выражение Для заданного : начиная с , начнут мажорироваться сходящимся рядом . Тогда этот ряд сходится. Значит, функциональная последовательность сходится. |
Связь сходимости по мере и почти всюду
Разделим
на равных частей. .
Растягиваем таблицу из этих функций в строчку:
— функциональная последовательность., . В силу определений этих функций очевидно, что
Очевидно, что
С другой стороны, очевидно, что к
она почти всюду не стремится, ибо при .Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны
, значит, стремятся к . Аналогично с нулём.Мы получили пример того, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.
Теорема Рисса
Теорема (Фердинанд Рисс): |
Пусть последовательность функций сходится по мере к функции на . Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на . |
Доказательство: |
Выше мы показали, что если Тогда, пользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций. , то , . |
Теорема Лузина
Теорема (Лузин): |
, — измерима на по мере Лебега. Тогда — непрерывная на , |
Доказательство: |
![]() |
Это принято называть
-свойством Лузина.Если, помимо всего прочего,
ограничена на , то можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на .Теорема Фреше
Теорема (Фреше): |
, — измерима на . Тогда — последовательность непрерывных на функций, такая, что почти всюду на . |
Доказательство: |
Пусть . По теореме Лузина, — непрерывная:. По теореме Рисса, . Значит, . Значит, . почти всюду на |
Теорема Егорова
Д.Ф. Егоров — основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.
Теорема (Егоров): |
Пусть , почти всюду на , .
Тогда , , |
Доказательство: |
— нульмерно. Пусть В силу конечности меры , из -аддитивности, (этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).Но любое пересечение содержится в объединении — нульмерно по монотонности меры, .Для существует .
По полуаддитивности меры, ., , значит, . Пусть .По двойственности, .. Значит, ; Окончательно получается, что .
В силу того, что номер . Значит, . выбирается независимо от , а только по и , . |
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.