Метрические пространства

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Последовательность [math]x_n[/math] сходится к [math]x[/math] в МП [math](X, \rho)[/math] (записывают [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n[/math]), если [math] \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math]

Некоторые примеры метрических пространств:

• [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]

• [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]

• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math]. [math] f(t) [/math] возрастает при [math] t \in (-1, \infty) [/math], поэтому, если [math] -1 \lt t_1 \lt t_2 [/math], [math] f(t_1) \lt f(t_2) [/math]. [math]f[/math] выпукла вверх на том же промежутке Так как [math] |x - z| \le |x - y| + |y - z| [/math] по свойствам [math] | \cdot | [/math] и [math]f[/math] возрастает, то [math] f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)[/math]. Из свойств модуля непрерывности имеем [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], тогда [math]f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) [/math], то есть получили [math]f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) [/math]. Покажем, что [math] x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k [/math]. В прямую сторону: [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) [/math]. Пусть [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt {\varepsilon \over 2^k} [/math]. Тогда [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon [/math]. Так как [math] t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 [/math], то [math] t \to 0 [/math], когда [math] f(t) \to 0 [/math], а значит, покоординатная сходимость выполняется. В обратную сторону: подберем такое [math] k_0 [/math], чтобы [math] {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} \lt \varepsilon [/math]. Возьмем [math] n_0 [/math] таким, чтобы [math] \forall k \le k_0, n \gt n_0: |x^{(n)}_k - x_k| \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon \lt 2 \varepsilon [/math]. Устремляя [math] \varepsilon [/math] к нулю, получаем необходимое.

[math]\triangleleft[/math]

• В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
• [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math][0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной .

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:

Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если: [math] X, \emptyset \in \tau[/math] Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math], называются открытыми. Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].

Определение:

Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math]. Внутренностью (interior) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества. Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества. Границей (boundary, frontier) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].

Определение:

Точка [math]x[/math] называется пределом последовательности [math]x_n[/math] в топологическом пространстве [math](X, \tau)[/math], если [math]\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n \gt N: x_n \in G[/math], то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Определение:

Множество [math]U[/math] называет окрестностью в ТП, если существует открытое [math]G[/math]: [math]x \in G \subset U[/math].

Определение:

Отображение [math]f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)[/math] называют непрерывным в точке [math]x \in X[/math], если для любой окрестности [math]U_{f(x)}[/math] существует окрестность [math]U_x[/math]: [math]f(U_x) \subset U_{f(x)}[/math].

Характеристика непрерывных отображений ТП: [math]f[/math] непрерывно, если для любого [math]G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1[/math], то есть прообраз любого открытого множества также открыт.

Для любого МП [math](X, \rho)[/math] можно ввести метрическую топологию: выделим в семейство открытых множеств [math]\tau[/math] множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:

1. Очевидно, [math]X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)[/math].
2. Очевидно.
3. Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:

   [math]G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')[/math]. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)

   Рассмотрим [math]V' \bigcap V''[/math]: [math]\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''[/math] (раньше когда-то доказывали), тогда [math]V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)[/math]

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

Определение:

Базой топологии называют некоторый набор открытых множеств [math]\sigma[/math], такой, что [math] \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V [/math], то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из [math]\sigma[/math].

Утверждение:

[math]\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}[/math], где [math]\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f(x) = \rho(x, A)[/math]. Сначала убедимся в том, что [math]f(x)[/math] равномерно непрерывна: [math]\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)[/math] [math]\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon \gt 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) \lt \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math] Значит, [math]\rho(x_1, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math]. Аналогично, [math]\rho(x_2, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon[/math]. Отсюда, [math]|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| \lt \rho(x_1, x_2) + \varepsilon[/math], устремляя [math]\varepsilon[/math] к нулю, получаем равномерную непрерывность [math]f[/math]. Обозначим [math]B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}[/math]. Понятно, что если некоторая последовательность [math]x_n \in B[/math] сходится к [math]x[/math], то [math]\rho(x_n, A) = 0[/math], и [math]\rho(x, A) = 0[/math], то есть, по определению [math]B[/math], [math]x \in B[/math]. Значит, [math]B = \mathrm{Cl} B[/math], [math]B[/math] замкнуто. Если [math]a \in A[/math], то [math]\rho(a, A) = 0[/math] и [math]a \in B[/math]. Значит, [math]\mathrm{Cl} A \subset B[/math]. Теперь покажем, что для произвольного замкнутого [math]F, A \subset F[/math], выполняется [math]B \subset F[/math]. Допустим, это неверно, и [math]\exists b \in B: b \notin F[/math], тогда [math]x \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)[/math]. Значит, [math] x \in V_r(b) \subset X \setminus F[/math]. [math]b \in B, \rho(b, A) = 0[/math], следовательно, есть последовательность [math]a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0[/math]. Начиная с некоторого [math]N[/math], [math]\rho(b, a_n) \lt r[/math], и [math]a_n \in V_r(b)[/math], [math]A \cap V_r(b)[/math] непусто. Но [math]A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing[/math] — противоречие, [math]B \subset F[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:

Утверждение (нормальность МП):

Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.

[math]\triangleright[/math]

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее) [math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее). [math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math] [math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.

Определение:

МП [math](X, \rho)[/math] называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу [math]X[/math].

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset[/math], и состоит из одной точки.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a_n[/math] — центр соответствующего шара, тогда из вложенности [math]\forall m \gt n: \rho(a_n, a_m) \lt r_n[/math], то есть последовательность центров сходится в себе, так как [math]r_n \to 0[/math], тошда по полноте пространства последовательность центров сходится к [math]a \in X[/math]. Покажем, что [math] a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n [/math], то есть [math]\forall n: a \in \overline V_n[/math]. Для любого [math]n[/math] шар [math]\overline V_n [/math] содержит все точки последовательности [math]\{a_n \}[/math], кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в [math]\overline V_n[/math] и также сходится к [math]a[/math], а так как [math] \overline V_n[/math] — замкнутое множество, оно содержит предел этой последовательности и [math]a \in \overline V_n[/math]. Также кроме [math]a [/math] в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка [math]b[/math],тогда [math]\rho(a, b) \gt 0[/math], возьмем шар в пересечении радиусом меньше [math]\rho(a, b) \over 2[/math] (такой есть по стремлению радиусов к [math]0[/math]), но в нем может лежать только одна из точек [math]a,b[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]A[/math] всюду плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Cl} A = X[/math] Например, [math]\mathbb{Q}[/math] всюду плотно в [math]\mathbb{R}[/math], так как [math]\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}[/math]. Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют сепарабельным. [math]A[/math] нигде не плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset[/math]. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек [math]A[/math]. Например, [math]\mathbb{Z}[/math] нигде не плотно в [math]\mathbb{R}[/math].

Определение:

Подмножество [math]A[/math] топологического пространства [math]X[/math] имеет I категорию по Бэру в пространстве [math]X[/math] если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в [math]X[/math] множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]X[/math] — полное и является множеством I категории, то есть представимо как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n[/math], где [math]M_n[/math] — нигде не плотно в [math]X[/math]. Возьмем замкнутый шар [math]\overline V_0[/math], например, радиуса 1. Так как [math]M_1[/math] нигде не плотно в [math]X[/math], оно также нигде не плотно в [math]\overline V_0[/math], а, значит, существует замкнутый шар [math]\overline V_1[/math] радиуса меньше [math]1 \over 2[/math], содержащийся в [math]\overline V_0[/math] и не пересекающийся с [math]M_1[/math] ([math]M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset[/math]). Аналогично, [math]M_2[/math] нигде не плотно в [math]\overline V_1[/math], и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ([math]\overline V_{n+1} \subset \overline V_n[/math]) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку [math]x[/math], но эта точка не может лежать ни в одном из множеств [math]M_n[/math] по построению, то есть, получили противоречие, и [math]X[/math] не является множеством первой категории.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (следствие из т. Бэра):

Полное МП без изолированных точек несчетно.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math](X, \rho)[/math] — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть [math]X[/math] — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как [math]\{ x_1 \dots x_n \dots \}[/math] и представить [math]X[/math] как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}[/math]. Но одноточечные множества нигде не плотны в [math]X[/math], тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, [math]X[/math] должно быть несчетно.

[math]\triangleleft[/math]

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.

Определение:

Замкнутое [math]K \subset X[/math] называют компактом, если из любой последовательности точек в [math]K[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение:

[math]A \subset X[/math] называют вполне ограниченным, если для него при любом [math]\varepsilon[/math] существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть, то есть [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)[/math].

Теорема (Хаусдорф):

В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Пример: [math]R^{\infty}[/math] — полное.

[math]\triangleright[/math]

TODO: упражнение

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (компактность прямоугольника в R^infty):

[math]\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots[/math] — компакт в [math]R^{\infty}[/math].

[math]\triangleright[/math]

[math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math], где [math]{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1[/math], также [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} \lt \varepsilon[/math]. Таким образом, для каждого [math]\varepsilon[/math] можно выбрать номер координаты [math]n_0[/math], такой что все координаты с большими [math]n_0[/math] номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на [math]\varepsilon[/math]. Расмотрим [math]\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}[/math] — для него можно составить конечную [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]A[/math] (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть [math]A'[/math] для [math]\Pi[/math] следующим образом: к каждой [math]n_0[/math]-мерной точке из [math]A[/math] допишем произвольные координаты [math]x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots[/math]. По выбору [math]\varepsilon[/math]: [math]\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) \lt \varepsilon[/math]. По определению [math]\varepsilon[/math]-сети для [math]A[/math]: [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) \lt \varepsilon[/math]. По построению [math]A'[/math] и выбору [math]\varepsilon[/math], [math]\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') \lt \varepsilon[/math]. Таким образом, [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon[/math], то есть построили конечную [math]3\varepsilon[/math]-сеть.

[math]\triangleleft[/math]

А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] пространство измеримых на [math] E \in \mathcal A [/math] вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику [math]\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu[/math], то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.

Ссылки

• Topological space
• Interior (topology)
• Closure (topology)
• Dense (topology)
• Nowhere dense set
• Compact space
• Totally bounded space
• [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)