Дополняющая сеть, дополняющий путь

Определение:

Остаточной пропускной способностью ребра [math](u, v)[/math] называется величина дополнительного потока, который мы можем направить из [math] u [/math] в [math] v [/math], не превысив пропускную способность [math] c(u, v) [/math]. Иными словами [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math].

Определение:

Для заданной транспортной сети [math]G=(V,E)[/math] и потока [math]f[/math], дополняющей сетью (residual network) в [math]G[/math], порожденной потоком [math]f[/math], является сеть [math]G_f=(V,E_f)[/math], где [math]E_f=\{(u,v) \in V\times V : c_f(u, v) \gt 0\}[/math]

Определение:

Для заданных транспортной сети [math]G=(V,E)[/math] и потока [math]f[/math] дополняющим путем (augmenting path) [math]p[/math] является простой путь из истока в сток в остаточной сети [math]G_f=(V,E_f)[/math].

Лемма о сложении потоков

Лемма:

Пусть [math] G = (V, E) [/math] - транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]f[/math] - поток в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] - остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math], а [math]f'[/math] - поток в [math]G_f[/math]. Тогда сумма потоков [math]f + f'[/math], определяемая уравнением [math](f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)[/math], является потоком в [math]G[/math], и величина этого потока равна [math]|f + f'| = |f| + |f'|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. 1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех [math](u,v) \in V[/math], справедливо: [math] (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)[/math]. 2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что [math]f'(u,v) \le c_f(u,v)[/math] для всех [math]u,v \in V [/math] и [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math]. Тогда [math](f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) [/math]. 3) Заметим, что для всех [math]u \in V - \{s,t\}[/math] справедливо равенство [math] \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0[/math] [math] |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|[/math]

[math]\triangleleft[/math]