Фундаментальная матрица

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Фундаментальной матрицей цепи Маркова называется матрица [math] N = \sum\limits_{i=1}^{\infty} Q^n[/math], где Q - матрица переходов между непоглощающими состояниями.


Теорема:
[math] N = (I - Q) ^ {-1} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Домножим обе части равенства в определении на [math] (I - Q) [/math]:

[math] (I - Q)N = (I - Q)(I + Q + Q^2 + \ldots) = I - Q + Q - Q^2 + Q^3 - Q^3 + \ldots = I[/math]

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то ряд действительно сходится. Далее, домножив на [math] (I - Q) ^ {-1} [/math], получим требуемое равенство.

Осталось лишь доказать, что матрица [math] (I - Q) ^ {-1} [/math] существует, то есть [math](I - Q) [/math] - невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

[math] (I - Q) x = 0 [/math]

[math] Ix = Qx [/math]

[math] x = Qx [/math]

Домножив слева последнее равенство на матрицу [math] Q [/math] слева, получим:

[math] Qx = Q^2x [/math]

Но [math] x = Qx [/math], значит, [math] x = Q^2x [/math]

Аналогично, [math] x = Q^nx [/math] для сколь угодно большого n.

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то обязательно [math] x = 0[/math]. Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица [math] I - Q[/math] - невырожденная.
[math]\triangleleft[/math]