Фундаментальная матрица
Версия от 23:41, 16 января 2012; Proshev (обсуждение | вклад)
Определение: |
Фундаментальной матрицей цепи Маркова называется матрица | , где Q - матрица переходов между непоглощающими состояниями.
Теорема: |
Доказательство: |
Домножим обе части равенства в определении на :
Так как , то ряд действительно сходится. Далее, домножив на , получим требуемое равенство.Осталось лишь доказать, что матрица существует, то есть - невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:
Домножив слева последнее равенство на матрицу слева, получим:
Но , значит,Аналогично, Так как для сколь угодно большого n. , то обязательно . Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица - невырожденная. |
Литература
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"