Натуральные числа

Деление чисел с остатком

Определение:

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k[/math] , что [math]n = m \cdot k[/math], то деление называется делением с остатком (англ. modulo operation).

Формула деления с остатком: [math]n = m\,k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2 \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\, = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 4 \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\ = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] или [math]r\, = 2\,[/math] или [math]r\, = 3\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = m \cdot k + r[/math], где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Основная теорема арифметики

Лемма Евклида

Лемма:

Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел [math]x\cdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что [math]x\cdot u+p\cdot v=1[/math] (соотношение Безу). Умножая обе части на [math]y[/math], получаем [math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math] Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики

Теорема:

Каждое натуральное число [math]n\gt 1[/math] представляется в виде [math]n=p_1\cdots p_k[/math], где [math]p_1,\ldots ,p_k[/math] — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие. Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]n/p[/math], что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math], а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

[math]\triangleleft[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел

Индукция

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Теорема (О существовании минимума):

Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум. Т. е. [math]\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math]1 \in A[/math], то [math]1[/math] и есть min. Иначе [math]1 \notin A[/math] Если [math]2 \in A[/math], то [math]2[/math] и есть min. Иначе [math]2 \notin A[/math] [math]P(n)[/math] — все элементы [math]\leqslant n[/math] не лежат в [math]A[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]P(1) \ldots P(n)[/math] — верно и [math]P(n+1)[/math] — верно (т.к. он был бы min) [math]\Rightarrow[/math] в [math]A[/math] ничего не лежит. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Классы чисел
• Математическая индукция
• Основная теорема арифметики

Источники информации

• ”Математика: Справ, материалы: Кн. для учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 12—13.
• Математическая индукция