Гильбертовы пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Определение:

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам: $\langle x, x \rangle \ge 0$ и $\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$ $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$ Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют евклидовым пространством TODO в конспекте почему-то унитарное, но унитарное — это же комплексное(

Пример:

• $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
• $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, \rangle y = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.

В УП выполняется неравенство Шварца : $|\langle x, \langle y| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$

УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$.

Определение:

Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

TODO: какая-то хурма про наилучшее приближение

Определение:

Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда ортогональным дополнением называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$.

TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если $X$ - бесконечномерное НП, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \

[math]\triangleleft[/math]

Ссылочки:

• Dot product
• Riesz's lemma

</wikitex>