Метрические пространства

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Последовательность [math]x_n[/math] сходится к [math]x[/math] в МП [math](X, \rho)[/math] (записывают [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n[/math]), если [math] \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math]

Некоторые примеры метрических пространств:

• [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]

• [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]

• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math]. [math] f(t) [/math] возрастает при [math] t \in (-1, \infty) [/math], поэтому, если [math] -1 \lt t_1 \lt t_2 [/math], [math] f(t_1) \lt f(t_2) [/math]. [math]f[/math] выпукла вверх на том же промежутке Так как [math] |x - z| \le |x - y| + |y - z| [/math] по свойствам [math] | \cdot | [/math] и [math]f[/math] возрастает, то [math] f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)[/math]. Из свойств модуля непрерывности имеем [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], тогда [math]f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) [/math], то есть получили [math]f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) [/math]. Покажем, что [math] x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k [/math]. В прямую сторону: [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) [/math]. Пусть [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt {\varepsilon \over 2^k} [/math]. Тогда [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon [/math]. Так как [math] t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 [/math], то [math] t \to 0 [/math], когда [math] f(t) \to 0 [/math], а значит, покоординатная сходимость выполняется. В обратную сторону: подберем такое [math] k_0 [/math], чтобы [math] {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} \lt \varepsilon [/math]. Возьмем [math] n_0 [/math] таким, чтобы [math] \forall k \le k_0, n \gt n_0: |x^{(n)}_k - x_k| \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon \lt 2 \varepsilon [/math]. Устремляя [math] \varepsilon [/math] к нулю, получаем необходимое.

[math]\triangleleft[/math]

• В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
• [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math][0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной .

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:

Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если: [math] X, \emptyset \in \tau[/math] Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math] называются открытыми. (по Хаусдорфу ???). Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].

Определение:

Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math]. Внутренностью (interior) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества. Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества. Границей (boundary, frontier) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].

Определение:

Точка [math]x[/math] называется пределом последовательности [math]x_n[/math] в топологическом пространстве [math](X, \tau)[/math], если [math]\forall G \ni x \exists N \forall n \gt N: x_n \in G[/math], то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Определение:

Множество [math]U[/math] называет окрестностью в ТП, если существует открытое [math]G[/math]: [math]x \in G \subset U[/math].

Определение:

Отображение [math]f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)[/math] называют непрерывным в точке [math]x \in X[/math], если для любой окрестности [math]U_{f(x)}[/math] существует окрестность [math]U_x[/math]: [math]f(U_x) \subset U_{f(x)}[/math].

Характеристика непрерывных отображений ТП: [math]f[/math] непрерывно тогда и только тогда, когда для любого [math]G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1[/math], то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107)

Для любого МП [math](X, \rho)[/math] можно ввести метрическую топологию выделим в семейство открытых множеств [math]\tau[/math] множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это удовлетворяет аксиомам ТП:

1. Очевидно (видимо, [math]X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)[/math], где [math]x[/math] — любая точка [math]X[/math] если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)
2. Очевидно (если считать очевидным факт, что несчетное объединение несчетных множеств есть несчетное множество. Понятно, что счетным оно быть не может, но неясно как выб)
3. Докажем для пересечения двух, дальше по индукции:

   [math]G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')[/math]. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)

   Рассмотрим [math]V' \bigcap V''[/math]: [math]\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''[/math] (раньше когда-то доказывали), тогда [math]V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)[/math]

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

Определение:

Базой топологии называют... TODO пщщ в конспекте какая-то хрень, кажется нет определения и только одно из двух свойство.

Утверждение:

[math]\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}[/math], где [math]\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)[/math].

[math]\triangleright[/math]

TODO: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность TODO: ааа, ниче не понятно. Кажется, доказательство через включение в обе стороны.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:

Утверждение (нормальность МП):

Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.

[math]\triangleright[/math]

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее) [math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее). [math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math] [math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)

Определение:

МП [math](X, \rho)[/math] называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset[/math], и является точкой.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a_n[/math] — центр соответствующего шара, тогда из вложенности [math]\forall m \gt n: \rho(a_n, a_m) \lt r_n[/math], то есть последовательность центров сходится в себе, так как [math]r_n \to 0[/math]. Тогда по полноте последовательность центров сходится к [math]a[/math], множество [math]\{a\}[/math] и есть искомое перечечение. TODO: интересно, а почему важна замкнутость?

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]A[/math] всюду плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Cl} A = X[/math] Например, [math]\mathbb{Q}[/math] всюду плотно в [math]\mathbb{R}[/math], так как [math]\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}[/math] (TODO:ох, что бы это значило. Видимо, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональных.) Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют сепарабельным. [math]A[/math] нигде не плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset[/math]. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек [math]A[/math]. Например, [math]\mathbb{Z}[/math] нигде не плотно в [math]\mathbb{R}[/math].

Определение:

Подмножество [math]A[/math] топологического пространства [math]X[/math] имеет I категорию по Бэру в пространстве [math]X[/math] если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в [math]X[/math] множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]X[/math] — полное и является множеством I категории, то есть представимо как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n[/math], где [math]M_n[/math] — нигде не плотно в [math]X[/math]. Возьмем замкнутый шар [math]\overline V_0[/math], например, радиуса 1. Как как [math]M_1[/math] нигде не плотно в [math]X[/math], оно также нигде не плотно в [math]\overline V_0[/math], а, значит, существует замкнутый шар [math]\overline V_1[/math] радиуса меньше [math]1 \over 2[/math], содержащийся в [math]\overline V_0[/math] и не пересекающийся с [math]M_1[/math] ([math]M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset[/math]). Аналогично, [math]M_2[/math] нигде не плотно в [math]\overline V_1[/math], и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ([math]\overline V_{n+1} \subset \overline V_n[/math]) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку [math]x[/math], но эта точка не может лежать ни в одном из множеств [math]M_n[/math] по построению, то есть получили противоречие и [math]X[/math] не является множеством первой категории.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (следствие из т. Бэра):

Полное МП без изолированных точек несчетно.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math](X, \rho)[/math] — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть [math]X[/math] — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как [math]\{ x_1 \dots x_n \dots \}[/math] и представить [math]X[/math] как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}[/math]. Но одноточечные множества нигде не плотны в [math]X[/math], тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, [math]X[/math] должно быть несчетно.

[math]\triangleleft[/math]

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. (TODO: Што? Как?)

Определение:

Замкнутое [math]K \subset X[/math] называют компактом, если из любой последовательности точек в [math]K[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение:

[math]A \subset X[/math] называют вполне ограниченным, если для него при любом [math]\varepsilon[/math] существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть, то есть [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)[/math].

Теорема (Хаусдорф):

В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

на лекции не было, видимо, было на 1 курсе тут Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях

[math]\triangleleft[/math]

Пример: [math]R^{\infty}[/math] — полное, так как метрика индуцирует покоординатную сходимость. TODO: пшшш какая-то хрень про диагональ Кантора.

Утверждение (компактность прямоугольника в R^infty):

[math]\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots[/math] — компакт в [math]R^{\infty}[/math].

[math]\triangleright[/math]

[math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math], где [math]{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1[/math], также [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} \lt \varepsilon[/math]. Таким образом, для каждого [math]\varepsilon[/math] можно выбрать номер координаты [math]n_0[/math], такой что все координаты с большими [math]n_0[/math] номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на [math]\varepsilon[/math]. Расмотрим [math]\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}[/math] — для него можно составить конечную [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]A[/math] (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть [math]A'[/math] для [math]\Pi[/math] следующим образом: к каждой [math]n_0[/math]-мерной точке из [math]A[/math] допишем произвольные координаты [math]x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots[/math]. По выбору [math]\varepsilon[/math]: [math]\forall x' \in \Pi \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) \lt \varepsilon[/math]. По определению [math]\varepsilon[/math]-сети для [math]A[/math]: [math]\forall \varepsilon \gt 0 \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) \lt \varepsilon[/math]. По построению [math]A'[/math] и выбору [math]\varepsilon[/math], [math]\forall a \in A \exists a' \in A': \rho(a, a') \lt \varepsilon[/math]. Таким образом, [math]\forall \varepsilon \gt 0 \forall x' \in \Pi \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon[/math], то есть построили конечную [math]3\varepsilon[/math]-сеть.

[math]\triangleleft[/math]

TODO: пшшш какая-то хрень про сигма-алгебры. Короче, вводится метрика [math]\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu[/math], в такой метрике сходимость равносильна сходимости по мере.

Всякие ссылочки по теме:

• Topological space
• Interior (topology)
• Closure (topology)
• Dense (topology)
• Nowhere dense set
• Compact space
• Totally bounded space
• [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)