Ковариация случайных величин

Определение:

Ковариация случайных величин — мера линейной зависимости случайных величин.

Вычисление

Обозначается как $Cov(\eta, \xi)$ , где $\eta, \xi$ - случайные величины.

В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:

$Cov(\eta, \xi) = E(\xi - E\xi)(\eta - E\eta) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) =$

$= E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta$

Итого, $Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta$

$Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)$ .

Пусть $\eta_1,\ldots, \eta_n$ случайные величины, а $\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j$ их две произвольные линейные комбинации. Тогда

$Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)$ .

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

$Cov(\eta,\eta) = \mathrm{D}[\eta]$ .

$Cov(\eta,\xi) = 0$ .

Обратное, вообще говоря, неверно.

$Cov^2(\eta,\xi) \leq \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]$ .