Теорема Банаха о неподвижной точке

У сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка [math]\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}[/math].

Доказательство теоремы

Возьмём [math]\forall x \in X[/math] и рассмотрим последовательность [math]x_1=Tx,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n[/math]. Получаем [math]\{x_n\}[/math]. Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

[math]d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),[/math]

[math]d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),[/math]

[math]\dots,[/math]

[math]d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)[/math].

Таким образом, по неравенству треугольника для

[math]\forall n,p \in \mathbb{N} \quad d(x_n,x_{n+p}) \leqslant d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \leqslant \dots[/math]

[math]\dots \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\leqslant[/math]

[math]\leqslant {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx) = ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx) \leqslant\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) [/math].

Но [math]\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 [/math] при [math]n \to \infty[/math], значит для [math]\varepsilon \gt 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \lt \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1} [/math].

Таким образом, для [math]\varepsilon \gt 0 \quad \exists N\colon\forall n \gt N, \forall p \in\mathbb{N}\colon d(x_n,x_{n+p}) \leqslant \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) \lt \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}d(x,Tx) \lt \varepsilon [/math].

Значит [math]\{x_n\}[/math] фундаментальна. Но т.к. [math]X[/math] полно, то [math]\exists x^* \in X\colon\lim_{n \to \infty}x_n = x^*[/math]. Тогда берём [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] и переходим к пределу, т.к. сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.

Докажем единственность. Предположим обратное, т.е. пусть [math]\exists y^* \in X\colon y^*=Ty^* \Rightarrow d(x^*,y^*) = [/math] (т.к. [math]x^*[/math] и [math]y^*[/math] - неподвижные точки) [math]d(Tx^*,Ty^*) \leqslant\alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant \alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow (1-\alpha)d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow x^*=y^*[/math].

Теорема доказана.