Гамильтоновы графы

Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона

Основные определения

Определение:

Гамильтоновым путём (англ. Hamiltonian path) называется простой путь, приходящий через каждую вершину графа ровно один раз.

Определение:

Гамильтоновым циклом (англ. Hamiltonian cycle) называют замкнутый гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется полугамильтоновым (англ. Semihamiltonian graph), если он содержит гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется гамильтоновым (англ. Hamiltonian graph), если он содержит гамильтонов цикл.

Очевидно, что любой гамильтонов граф также и полугамильтонов.

Достаточные условия гамильтоновости графа

Теорема Дирака

Теорема:

Если и для любой вершины неориентированного графа , то — гамильтонов граф.

Теорема Оре

Теорема:

Если и для любых двух различных несмежных вершин и неориентированного графа , то — гамильтонов граф.

Теорема Поша

Теорема (Поша):

Пусть граф имеет вершин и выполнены следующие два условия:

для всякого , число вершин со степенями, не превосходящими [math]k[/math], меньше чем [math]k[/math];
для нечетного [math]n[/math] число вершин степени [math](n-1)/2[/math] не превосходит [math](n-1)/2[/math],

тогда — гамильтонов граф.

Теорема Редеи-Камиона

Теорема:

Любой сильносвязный турнир — гамильтонов.

Теорема Гуйя-Ури

Теорема (Ghouila-Houri):

Пусть — сильносвязный ориентированный граф.
— гамильтонов.

Теорема Хватала

Теорема (Хватал):

Пусть:

[math] G [/math] — связный граф,
[math] n = |VG| \geqslant 3 [/math] — количество вершин,
— его последовательность степеней.

Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация:

то граф гамильтонов.

Алгоритм нахождения гамильтового цикла

Зафиксируем начальную вершину [math]s[/math] и будем искать гамильтонов цикл наименьшей стоимости — путь от [math]s[/math] до [math]s[/math], проходящий по всем вершинам (кроме первоначальной) один раз. Т.к. искомый цикл проходит через каждую вершину, то выбор [math]s[/math] не имеет значения. Поэтому будем считать [math]s = 0 [/math].

Подмножества вершин будем кодировать битовыми векторами, обозначим [math]mask_i[/math] значение [math]i[/math]-ого бита в векторе [math]mask[/math].

Обозначим [math]d[i][mask][/math] как наименьшую стоимость пути из вершины [math]i[/math] в вершину [math]0[/math], проходящую (не считая вершины [math]i[/math]) единожды по всем тем и только тем вершинам [math]j[/math], для которых [math]mask_j = 1[/math] (т.е. [math]d[i][mask][/math] уже найденный оптимальный путь от [math]i[/math]-ой вершины до [math]0[/math]-ой, проходящий через те вершины, где [math]mask_j=1[/math]. Если [math]mask_j=0[/math],то эти вершины еще не посещены).

Начальное состояние — когда находимся в 0-й вершине, ни одна вершина не посещена, а пройденный путь равен [math]0[/math] (т.е. [math]i = 0[/math] и [math]mask = 0[/math]).
Для остальных состояний ([math]i \ne 0[/math] или [math]mask \ne 0[/math]) перебираем все возможные переходы в [math]i[/math]-ую вершину из любой посещенной ранее и выбираем минимальный результат.
Если возможные переходы отсутствуют, решения для данной подзадачи не существует (обозначим ответ для такой подзадачи как [math]\infty[/math]).

Стоимостью минимального гамильтонова цикла в исходном графе будет значение [math] d[0][2^n-1][/math] — стоимость пути из [math]0[/math]-й вершины в [math]0[/math]-ю, при необходимости посетить все вершины. Данное решение требует [math]O({2^n}\times{n})[/math] памяти и [math]O({2^n}\times{n^2})[/math] времени.

Для того, чтобы восстановить сам путь, воспользуемся соотношением , которое выполняется для всех ребер, входящих в минимальный цикл . Начнем с состояния [math] i = 0 [/math], [math] mask = 2^n - 1[/math], найдем вершину [math]j[/math], для которой выполняется указанное соотношение, добавим [math]j[/math] в ответ, пересчитаем текущее состояние как [math]i = j[/math], [math] mask = mask - 2^j [/math]. Процесс заканчивается в состоянии [math]i = 0[/math], [math] mask = 0 [/math].

Прежде чем писать код, скажем пару слов о порядке обхода состояний. Обозначим за [math]|mask|[/math] количество единиц в маске (иначе говоря количество пройденных вершин не считая текущей). Тогда, поскольку при рассмотрении состояния [math]\langle i, mask \rangle[/math] мы смотрим на состояния

, и [math]|mask| = |mask - 2^j| + 1[/math], то состояния с большим [math]|mask|[/math] должны быть посещены позже, чтобы к моменту вычисления текущего состояния были вычислены все те, которые используются для его подсчёта. Однако если использовать рекурсию, об этом можно не беспокоиться (и сэкономить немало кода, времени и памяти).

 //Все переменные используются из описания алгоритма, [math]\infty[/math] = бесконечность
 function findCheapest(i, mask):
   if d[i][mask] != [math]\infty[/math] 
     return d[i][mask] 
   for j = 0 .. n - 1
     if w(i, j) существует and j-ый бит mask == 1  
       d[i][mask] = min(d[i][mask], findCheapest(j, mask - 2 ** j) + w(i, j))
 return d[i][mask]
 
 for i = 0 .. n - 1
   for mask = 0 .. 2 ** n - 1
    d[i][mask] = [math]\infty[/math]
 d[0][0] = 0;
 ans = findCheapest(0, 2 ** n - 1)
 if ans == [math]\infty[/math]
   exit

Дальше ищем сам цикл:

 i = 0
 mask = 2 ** n - 1
 path.push(0)
 while mask != 0
   for j = 0 .. n - 1
     if w(i, j) существует and j-ый бит mask == 1 and d[i][mask] == d[j][mask - 2 ** j] + w(i, j) 
       path.push(j)
       i = j
       mask = mask - 2 ** j
       continue

Алгоритм нахождения гамильтового пути

Алгоритм нахождения гамильтонова пути легко получить слегка изменив алгоритм нахождения гамильтонова цикла.

 bool findPath(i, mask):
   if d[i][mask] 
     return true 
   for j = 0 .. n - 1
     if w(i, j) существует and j-ый бит mask == 1
       if findPath(j, mask - 2 ** j)
         d[i][mask] = true
 return d[i][mask]
 
 for i = 0 .. n - 1
   for mask = 0 .. 2 ** n - 1
    d[i][mask] = false
 d[0][0] = true;
 ans = findPath(0, 2 ** n - 1)
 if ans == false
   exit

Дальше ищем сам путь:

 i = 0
 mask = 2 ** n - 1
 while mask != 0
   for j = 0 .. n - 1
     if w(i, j) существует and j-ый бит mask == 1 and d[i][mask] == d[j][mask - 2 ** j] == true 
       path.push(j)
       i = j
       mask = mask - 2 ** j
       continue

Длину пути можно узнать как path.size.

Задача о коммивояжере

Задача:

Задача о коммивояжере (англ. Travelling salesman problem, TSP) — задача, в которой коммивояжер должен посетить городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?

Варианты решения

NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах

Так вот задача о коммивояжере относится к классу NP-полных задач. Поэтому, рассмотрим два варианта решения с экспоненциальным временем работы.

Перебор перестановок

Можно решить задачу перебором всевозможных перестановок. Для этого нужно сгенерировать все [math] N! [/math] всевозможных перестановок вершин исходного графа, подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать минимальный из них. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших [math]N[/math]. Сложность алгоритма [math]O({N!}\times{N})[/math].

Динамическое программирование по подмножествам (по маскам)

Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.

Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершинам будут соответствовать города, а ребрам — дороги. Пусть в графе [math] G=(V,E)[/math] [math] N [/math] вершин, пронумерованных от [math]0[/math] до [math]N-1[/math] и каждое ребро [math](i, j) \in E [/math] имеет некоторый вес [math] w(i,j)[/math]. Необходимо найти гамильтонов цикл, сумма весов по ребрам которого минимальна.

Оптимизация решения

Пусть [math]dp[mask][i][/math] содержит булево значение — существует ли в подмножества [math]mask[/math] гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине [math]i[/math].

Сама динамика будет такая:

Это решение требует [math]O(2^nn)[/math] памяти и [math]O(2^nn^2)[/math] времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом.

Пусть теперь [math]d'[mask][/math] хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве [math]mask[/math], заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: [math]d'[mask][/math] будет равно . Для графа [math]G[/math] выпишем [math]n[/math] масок [math]M_i[/math], для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром в данной вершиной. То есть .

Тогда динамика перепишется следующим образом:

Особое внимание следует уделить выражению [math]d[mask \oplus 2^i] \& M_i[/math] . Первая часть выражения содержит подмножество вершин, для которых существует гамильтонов путь, заканчивающихся в соответствующих вершинах в подмножестве [math]mask[/math] без вершины [math]i[/math], а вторая — подмножество вершин, связанных с [math]i[/math] ребром. Если эти множества пересекаются хотя бы по одной вершине (их [math]\&[/math] не равен [math]0[/math]), то, как нетрудно понять, в [math]mask[/math] существует гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине [math]i[/math].

Окончательная проверка состоит в сравнении [math]d[2^n - 1][/math] c [math]0[/math].

Это решение использует [math]O(2^n)[/math] памяти и имеет асимптотику [math]O(2^nn)[/math].

См. также

Источники информации

Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.
Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
Гамильтонов граф
Задача коммивояжера в русской википедии

Задача коммивояжера в немецкой википедии

Романовский И. В. Дискретный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. ISBN 5-7940-0114-3

Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4

Гамильтоновы графы

Основные определения

Достаточные условия гамильтоновости графа

Теорема Дирака

Теорема Оре

Теорема Поша

Теорема Редеи-Камиона

Теорема Гуйя-Ури

Теорема Хватала

Алгоритм нахождения гамильтового цикла

Алгоритм нахождения гамильтового пути

Задача о коммивояжере

Варианты решения

Перебор перестановок

Динамическое программирование по подмножествам (по маскам)

Оптимизация решения

См. также

Источники информации

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты