Неравенство Маркова

Неравенство Маркова

Определение:

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Теорема (Неравенство Маркова):

Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ([math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|\lt \mathcal {1}[/math]. Тогда [math]\forall ~x \gt 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем для доказательства следующее понятие: Пусть [math] A[/math] - некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром [math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math], и ее математическое ожидание равно вероятности успеха [math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому [math]|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|\lt x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)[/math]. Тогда [math] \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) [/math]. Разделим обе части на [math]x[/math]: [math] \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Доказательство

Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть [math] A[/math] - некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром

 [math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math], 

и ее математическое ожидание равно вероятности успеха [math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому

 [math]|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|\lt x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)[/math].

Тогда

 [math]\mathbb E\mathrm |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x)[/math].

Разделим обе части на [math]x[/math]:

 [math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

Примеры

Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.

 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2[/math]

Неравенство Чебышева

Определение:

Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.

Формулировка

Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt 0[/math] будет выполнено

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

Доказательство

Для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2[/math], поэтому

 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

Следствие

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Рассмотрим такое утверждение:

 Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt  \mathcal {1}[/math], то 
 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {8}{9}[/math].
 

Доказательство: Согласно неравенству Чебышева

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\ge 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \frac {1} {9}[/math]

Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\frac {1}{9}[/math]