Алгебра и геометрия 1 курс
Линейные операторы
- Линейные операторы и их матричная запись. Примеры
- Пространство линейных операторов
- Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. Алгебра операторов и матриц
- Обратная матрица
- Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
- Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
Тензорная алгебра
- Замена базиса. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
- Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров. Свертка тензора. Транспонирование тензора.
- Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
- Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве
- Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
- Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения, свойства, существование, вычисление.
- Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора. Инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида
- Ультраинвариантные подпространства.
- Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
- Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
- Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
- Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
- Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор)
- Жорданова форма матрицы линейного оператора.
- Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
Евклидово пространство
- Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
- Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
- Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре.
- Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
- Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
- Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
- Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
- Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
- Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов
