689
правок
Изменения
Нет описания правки
'''2.'''
Из первого пункта мы уже знаем, что, <tex> \forall p \in \mathbb N: </tex>, если <tex> A_1, A_2, ..., A_p \in \mathcal{A} </tex> дизъюнктны, то <tex> \mu^*(E \cap \bigcup\limits_{j = 1}^{p} A_j) = \sum\limits_{j = 1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
Пусть <tex> B_p = \bigcup\limits_{j=1}^{p} A_j, B_p \in \mathcal A </tex>.
Полагая <tex> B = \lim\limits_{p \rightarrow \infty} B_p </tex>, для доказательства того, что <tex> \mathcal{A} </tex> является <tex> \sigma </tex>-алгеброй, нам нужно установить неравенство:
<tex>\forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{B}) </tex>.
<tex> B_p \in \mathcal A </tex>, поэтому <tex> \mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_p) + \mu^*(E \cap \overline{B_p}) = \mu^*(E \cap \overline{B_p}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
<tex> \overline{B} \subset \overline{B_p} \Rightarrow \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
При <tex> p \rightarrow \infty </tex>, получаем <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
Но <tex> E \cap B \subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(E \cap A_j) </tex>, поэтому <tex> \sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu^*(E \cap A_j) \ge \mu^*(E \cap B) </tex>, и <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \mu^*(E \cap B) </tex>. Требуемое неравенство доказано, <tex> B \in \mathcal A </tex>.
Подставим в <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j)\ \ B</tex> вместо <tex> E </tex>, получим <tex> \mu^*(B) \ge \sum\limits{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>. Но по <tex> \sigma </tex>-аддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, поэтому <tex> \mu^*(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty} A_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, и <tex> \mu^* </tex> - <tex> \sigma </tex>-аддитивная мера на <tex> \mathcal A </tex>.
Дальше еще две строчки, но, вроде бы, они не нужны.
}}
