1679
правок
Изменения
tex добавлю попозже
E_m \in E, f_n \ge 0, и по свойствам интеграла, \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n и m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N, m — произвольное натуральное число, следовательно, \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f, что и требовалось доказать.
}}
=== Следствие ===
{{Лемма
|about=
следствие
|statement=
Пусть u_n(x) \ge 0 на E и измеримы и \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n — сходится (< + \infty). Тогда \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) сходится почти всюду на E.
|proof=
Все интегралы определены (неотрицательные функции). S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) пшшш. Значит, у них есть предел. Установить что предел + \infty на нульмерном множестве. E_1 = E(S(x) = + \infty) S(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) {{TODO|t=блин, тут какое-то уг в конспекте}}
Но к частичным суммам на E_1 применима теорема Леви и \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty, но \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k \to конечный предел.
Противоречие, \mu E_1 = 0, ч.т.д.
}}
== Теорема Фату ==
{{Теорема
|author=
Фату
|statement=
Пусть измеримые f_n неотрицательны на E и сходятся на E по мере к функции f. Тогда \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n.
|proof=
По теореме Риса выделяем из f_n сходящуюся почти всюду подпоследовательность. f_n неотрицательна, f_{n_k} \to f, следовательно, f тоже неотрицательна почти всюду на E, интеграл в неравенстве определен. Справа sup — не уменьшая общности считаем что с начала f_n \to f почти всюду.
g_n = \min \{ f, f_n \}
g_n — измерима ( \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 )
g_n \le f_n. \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n
f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x)
g_n \le f
\int\limits_E f < + \infty, то есть она суммируемая мажоранта для g_n и по теореме Лебега \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f и неравенство выполняется.
Остался случай несуммируемой f, то есть \int\limits_E f = + \infty.
\forall хорошее E' для f. Это множество конечной меры, f ограничено на нем. \int\limits_{E'} < + \infty. Тогда по уже доказанному, \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n.
Интеграл по любому хорошему E' для f не превосходит этой константы и по определению интеграла переходя к sup по E, получаем \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n, что и требовалось доказать.
}}
\forall \varepsilon > 0
