Изменения

Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f</tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n</tex>.

По теореме Риса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f</tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E</tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности считаем что с начала <tex> f_n \to f </tex> почти всюду.

<tex> g_n = \min \{ f, f_n \}</tex>

<tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> )

<tex> g_n \le f_n</tex>. <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n</tex>

<tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex>

<tex> g_n \le f</tex>

<tex> \int\limits_E f < + \infty</tex>, то есть она суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex> и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex> и неравенство выполняется.

Остался случай несуммируемой <tex> f</tex>, то есть <tex> \int\limits_E f = + \infty</tex>.

<tex> \forall </tex> хорошее <tex> E' </tex> для <tex> f</tex>. Это множество конечной меры, <tex> f </tex> ограничено на нем. <tex> \int\limits_{E'} < + \infty</tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n</tex>.

Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и по определению интеграла переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E</tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n</tex>, что и требовалось доказать.