Изменения

У сжимающего отображения <tex>A : \overline{V} \to \overline{V}</tex> существует единственная неподвижная точка <tex>\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}</tex>.

Доказательство из википедии, его еще стоит ПЕРЕДЕЛАТЬ! Возьмём <tex>\forall x x_0 \in X\overline{V}</tex> и рассмотрим последовательность <tex>\{x_n\}</tex>, где <tex>x_1=TxTx_0,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n</tex>. Получаем <tex>\{x_n\}</tex>. Покажем, что эта последовательность [[фундаментальная последовательность|фундаментальная]]. В самом деле:

Таким образом, по неравенству треугольника для любых <tex>n,p \in \mathbb{N}</tex>:<tex>d(x_n,x_{n+p}) \le d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \le</tex>:<tex>\le d(x_{n},x_{n+1}) + d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \le \dots</tex>:<tex>\dots \le d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\le</tex>:<tex>\le {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx)=</tex>:<tex>= ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx)\le\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) </tex>. Но <tex>\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 </tex> при <tex>n \to \infty</tex>, значит для <tex>\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1} </tex>.