1679
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |id=def1 |definition= Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \righta...»
{{Определение
|id=def1
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника
Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.
}}
Некоторые примеры метрических пространств:
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0</tex>. TODO: к чему это? Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики в обратную сторону очевидно, в прямую хз TODO
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
|id=def1
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника
Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.
}}
Некоторые примеры метрических пространств:
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0</tex>. TODO: к чему это? Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики в обратную сторону очевидно, в прямую хз TODO
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
