1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
<wikitex>
Рассмотрим множество $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X \Rightarrow A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}$(TODO: что бы значила тут стрелка вправо?), $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}. Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.
{{Определение
|definition=
$A$ '''закругленное/уравновешенное''', если $\forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A$.
}}
{{Определение
|definition=
$A$ '''поглощает''' $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A$.
}}
{{Определение
|definition=
$A$ '''радиальное''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
}}
{{Определение
|definition=
$A$ '''выпуклое''', если $\forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.
}}
</wikitex>
