1679
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n</tex>
Теорема: <tex>\forall x \in H: \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. {{TODO: |t= найти доказательство, где-то было оно}}
{{Теорема
TODO равенство Парсеваля вроде?
|statement=
В неравенстве Бесселя для любого <tex>x</tex> будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. {{TODO: |t= пшшш, что-то неразборчивое}}
|proof=
???
|author=Рисс-Фишер
|statement=
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty<</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex> {{TODO: |t= что-то не понял, откуда альфы берутся, ряд типа нам дают, а мы уже по нему точку строим?}}
|proof=
???
}}
{{TODO: |t= далее идет что-то бредовое}}
Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы <tex>H</tex> было сепарабельным: <tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.
