Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, A компактен <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>
|proof=Ранее (пятый семестр же?) мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\|<=\leq a\|y\|</tex>), то R(T) замкнуто. Нужно доказать, что у T есть априорная оценка.
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
