Изменения

# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A \in \mathcal{L} (X</tex> ­— компактный,Y)то <tex> C </tex> ­— компактный.# Если <tex> B </tex> ­— компактный, ~ B \in \mathcal{L} (Y<tex> A </tex> ­— ограниченный,Z) то <tex> C </tex> ­— компактный.|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

<tex> C Рассмотрим единичный шар $V = B \cdot A </tex> { x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(произведениеV)$ — относительно компактное в $Z$, суперпозиция)то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> $A </tex> ­— компактный$ — компактен, то <tex> C </tex> ­— компактный.# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> есть $W = A </tex> ­— ограниченный(V)$ относительно компактно в $Y$, то <tex> C </texпоэтому $\forall \varepsilon > ­— компактный0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

|proof Обозначим $z_j = {{TODO | t B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = доказательство }}}}By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| === Следствие ===\|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.</wikitex>}}

|proof=От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению,что невозможно в бесконечномерном случае.}}

<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < b n \} </tex> — счетное объединение шаров.

По теореме Используя [[Теорема Хаусдорфа {{TODO об ε-сетях| t = добавить ссылку на теорему Хаусдорфа}} ]] можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}</tex>-сетей для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.