355
правок
Изменения
м
→Существование триангуляции Делоне
Докажем данное утверждение для n-мерного случая.
Возьмём <tex>a_1, a_2, ..., a_{n+1}</tex> афинно аффинно независимых точек и опишем вокруг них окружность с центром в точке <tex>O</tex> и радиусом <tex>R</tex>. Возьмём произвольную точку <tex>x</tex>, лежащую на расстоянии <tex>tR</tex> от <tex>O</tex>, и посмотрим, как параметр <tex>t</tex> влияет на положение её проекции на параболоид.
Представим <tex>\vec{a_i}</tex> как <tex>\vec O + \vec{r_i}</tex>, а <tex>\vec x</tex> — как <tex>\vec O + \vec{r_x}</tex>. Тогда проекции точек на параболоид будут выглядеть так:
<tex>(\vec O + \vec{r_x}, (\vec O + \vec{r_x})^2) = (\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + \vec{r_x}^2 + 2\vec O \vec {r_x}) = (\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + (tR)^2 + 2\vec O \vec {r_x})</tex>
{{Acronym|Так как <tex>\{r_i\}</tex> афинно аффинно независимы, то <tex>r_x</tex> можно представить как <tex>r_x = \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i r_i</tex>, причём <tex>\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i = 1</tex>|Общеизвестный факт}}.
Запишем определитель, показывающий положение точки <tex>x</tex> на параболоиде относительно плоскости, заданной точками <tex>\{a_i\}</tex>:
